F(x) ={-x^2-2x} при x< 0
{x^2-2x}при x> 0
​

Сторона квадрата АВ = 8 см, ВР = ВЕ = 3 см. Поскольку КРЕМ - трапеция, то КМ параллельно РЕ, поэтому DK = DM = x.
Длина одного основания РЕ = 3*корень(2), длина другого КМ = х*корень 2, меняется от 8*корень 2 до 0.
Диагональ квадрата АС = BD = 8*корень(2).
Точки К и М в одном крайнем положении совпадают с А и С, в другом - обе совпадают с D, тогда трапеция вырождается в треугольник. Два крайних положения показаны на

Длина BN = PN = EN = 3*корень(2)/2. Длина DF = KF = MF = x*корень(2)/2. Длина OB = BD/2 = 4*корень(2)
Высота трапеции FN = BD - BN - DF = 8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2.
Площадь трапеции
S = (PE + KM) * FN / 2 = (3*корень(2) + х*корень(2)) * (8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2) / 2
S = корень(2) * (3 + x) * корень(2) * (8 - 3/2 - x/2) / 2 = (3 + x)(16 - 3 - x)/2 = (3 + x)(13 - x)/2 -> max
Неожиданно простая функция получилась. Дальше находим производную, и приравниваем к 0.
S ' = [ (13 - x) - (3 + x) ] / 2 = (10 - 2x) / 2 = 5 - x = 0
x = 5

 

ответ: точки К и М должны быть на расстоянии 5 см от точки D.

Из деревни на станцию выехал грузовик, а через 30 мин из деревни в том же направлении выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик в 30 км от станции. После прибытия на станцию легковой автомобиль сразу же повернул назад и встретил грузовик в 6 км от станции. Сколько времени понадобилось легковому автомобилю, чтобы догнать грузовик? Из деревни на станцию выехал грузовик, а через 30 мин из деревни в том же направлении выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик в 30 км от станции. После прибытия на станцию легковой автомобиль сразу же повернул назад и встретил грузовик в 6 км от станции. Сколько времени понадобилось легковому автомобилю, чтобы догнать грузовик? ВЫПОЛНИМ РИСУНОК К ЗАДАЧЕ. ВЫПОЛНИМ РИСУНОК К ЗАДАЧЕ. 6 км 6 км ДЕРЕВНЯ А В С ДЕРЕВНЯ А В С 30 км 30 км На рисунке точкой А обозначено место где легковой автомобиль догнал грузовик. Точкой В - место встречи легкового автомобиля с грузовым на обратном пути. По условию задачи расстояние АС=30 км, тогда путь грузовика после первой встречи до второй встречи S 1 =АВ=30-6=24 км. Путь легкового автомобиля после первой встречи до второй встречи: S 2 =АС+ВС=30+6=36 км. В задаче требуется найти время легкового автомобиля на участке АD. Обозначим его t час, тогда время грузовика на этом участке (t + 0,5) ч. Пусть V 1 км/ч скорость грузовика, а V 2 км/ч скорость легкового автомобиля на участке АD, тогда получаем уравнение V 1 (t + 0,5)=V 2 t или (V 2 -V 1 )t=0,5V 1. Пусть t 1 – время движения автомобилей между первой и второй встречами, тогда V 1 =24/t 1 км/ч, а V 2 =36/t 1. Подставим значения V 1 и V 2 в уравнения: (V 2 -V 1 )t=0,5V 1 (36/t 1 – 24/t 1 )t=0,5. 24/t 1 12/t 1. t=12/t 1 t=1. Значит, искомое время 1 час. ответ:1 час.