Каково должно быть отношение длин плеч у рычага, который не дает ни выигрыша, ни проигрыша в силе? в каких случаях применяется такой рычаг?

отношение длин плеч  1:1( т.е. равные).

Применяется например на рычажных весах, чтобы узнать массу тела. 

1 к 1

применяться может для передачи усилия или для преобразования одного вида движения в другое, например вращательного в поступательное