Груз массой м может скользить без трения по горизонтальному стержню, который вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. груз соединяют с этим концом стержня пружиной коэффициент жесткости которой k. при какой угловой скорости стержня пружина растянется на 50% от начальной

Пусть начальная длинна пружины будет R, тогда при вращении стержня она растянется на  50 % от R, то есть на 1/2R и будет равна R + 1/2R = 3/2R. Сила натяжения пружины будет Fпр. = k * R/2. Эта сила при вращении уравновешивает силу действующую на груз вызванную центростремительным ускорением Fцс = m*w^2(R + R/2), где w(омега) - искомая угловая скорость стержня, тоесть Fпр = Fцс  
k*r/2 = mw^2* 3R/2, отсюда w = корню квадратному из 3m/k