1) Сумма углов треугольника 180°. В ∆ АВС угол В=180°-50°-60°=70°. В ∆ А1В1С1 угол А1=180°-708-608=50°. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по равенству всех углов.
2) По условию АС║BD, АВ и СD - секущие. Образовавшиеся при пересечении секущими параллельных прямых накрестлежащие углы равны. ⇒ ∠СAО=∠DBO=61°. Треугольники АОС и BOD подобны по равенству накрестлежащих углов, а стороны, содержащие вертикальные углы при О - пропорциональны. k=АО:ВО=12:4=3, k=СО:DO=30:10=3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. S(AOC):S(BOD)=k²=3²=9
Рассмотрим ∆АВD.
P – середина АВ по условию;
Т – середина АD по условию;
Следовательно РТ – средняя линия ∆ABD. Средняя линия треугольника вдвое меньше стороны треугольника, которой она параллельна.
PT//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда РТ=0,5*BD=0,5*8=4 см
Рассмотрим ∆BCD.
Q – середина СВ по условию;
R – середина CD по условию;
Следовательно QR – средняя линия ∆BCD. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.
QR//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда QR=0,5*BD=0,5*8=4 см.
PT//BD и QR//BD => РТ//QR.
РТ=4 см; QR=4 см => РТ=QR.
Тогда получим что, две противоположные стороны четырехугольника PQRT параллельны и равны, следовательно четырехугольник PQRT – параллелограмм.
Рассмотрим ∆PBQ u ∆ABC.
Угол АВС – общий;
Так как точка Р – середина АВ, то РВ равна половине АВ
Следовательно РВ/АВ=1/2;
Так как точка Q – середина СВ, то QB равно половине СВ
Тогда QB/CB=1/2;
Исходя из найденного, ∆PBQ~∆ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а коэффициент подобия треугольников 1/2.
Следовательно PQ/AC=1/2;
2/AC=1/2;
AC=2*2
AC=4 см.
ответ: Параллелограмм; РТ=4 см; АС=4 см.
