1) пусть трапеция ABCD, M и N - точки касания вписанной окружности (M лежит на AB), KL - отрезок, проведённый через центр окружности перпендикулярно основаниям трапеции, BH - высота
2) Высота трапеции (в нашей задаче) равна удвоенному радиусу (2*6=12)
3) Пусть AM=x; тогда MB=x-5
4) AL=AM; MB=BK (как отрезки касательных, выходящих из одной точки)
5) HL=BK=x-5; AL=x
6) AH=x-(x-5)=5
7) треугольник ABH - прямоугольный с катетами 12 и 5, значит AB=13
8) x+(x-5)=13; 2x=18; x=9
9) нижнее основание трапеции равно 2*9=18
верхнее основание трапеции: 2*(9-5)=2*4=8
10) средняя линия: (18+8)/2=13
Пусть AE высота треугольника ACD. Заметим, что в прямоугольных треугольниках OHA и EHD острые углы OHA и EHD равны как вертикальные. А значит, равны и вторые острые углы этих треугольников:
EDH=ОAH. Из этого равенства и равенства углов CAB=CDB получаем, что BAO=HAO. А значит, AO – биссектриса треугольника ABH, но она же и высота этого треугольника (диагонали перпендикулярны). И поэтому треугольник ABH равнобедренный. AO - его медиана. BO=OH, ВO=HD (по условию) и значит OH=HD и H – середина отрезка DO.
