С11 класс. 18 за решение. 2 или 3-ю .

Рисунок см. во вложении. Все предыдущий автор верно описал. Просто небольшие пояснения. При продолжении меньшего катета АС до пересечения с окружностью получим точку N, причем КN - диаметр, т.к. угол КМN - прямой (KM||BC, как средняя линия). Вот и получился прям-ый тр-ик KMN, вписанный в окружность, подобный исходному, т.к угол NKM = углу ВАС( у них взаимно перпендикулярны стороны). Гипотенуза исходного тр-ка АВ=10 (по т. Пифагора), пусть KN = d - диаметр окр-ти, КМ = 4, как ср. линия исходного тр-ка.
Теперь можно составить пропорцию:
d/AB = KM/AC, или d/10 = 4/6
Отсюда:d = 20/3, а радиус: R = 10/3

Дано:  

∠MOH = ∠POH ; Луч НО – биссектриса ∠MHP .

∠MHO =∠PHO = (1/2)*∠MHP - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1) Док -ать Δ MOH = Δ POH

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

2) дополнительно : ∠MHO = 42⁰, ∠HMO = 28⁰, ∠НОМ = 110⁰.                                 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Найти: ∠OHP - ? ;  ∠HPO ;  ∠НОР .       * * *∠OHP ≡∠PHO * * *

|| ∠OHP - ?  ;  ∠HPO-?  ∠НОР - ?  ||

* * * ∠НОМ = 180°-(∠MHO+∠HMO) = 180°-(28⁰ +42⁰) =180°- 70⁰=110⁰

!  Второй признак равенства треугольников :  

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

см приложение   еще и чертеж