Решаю только 5 номеров, как Вы и сказали. Сильно много вопросов просто.
Номер 1.
Угол АСВ= 180-110=70.(Как смежные)
Угол АСВ= углуВАС => ΔАВС - равнобедренный, что и требовалось доказать.
Номер 2.
Угол ВАС= 180-100=80(Как смежные)
УголАСВ=углу вертикальному=80.
УголВАС=углуАСВ => ΔАВС - равнобедренный, что и требовалось доказать.
Задание 3.
Рассмотрим АС и DE.
Они параллельны, поскольку соответственные углы равны.
Если BD=BE, то ΔBDE - равнобедренный, более того, тогда уголD=углуЕ и, соответственно, уголВАС=углу АСВ => ΔABC - равнобедренный, что и требовалось доказать.
Задание 4.
Рассмотрим ΔDAB и ΔDCB.
AD=DC, DB - общая сторона, уголADB= углу CDB => треугольники равны(по двум сторонам и углу между ними). ΔDAB=ΔDCB.
Значит, АВ=ВС => треугольник АВС- равнобедренный, что и требовалось доказать.
Задание 5.
Прямая BD.
УголАЕВ=180-уголAED.
УголСЕВ=180-уголCED.
Углы CED и AED равны, значит, уголАЕВ=углуСЕВ.
Рассмотрим ΔAEB и ΔCEB.
EB - общая сторона, угол АВЕ= углу СВЕ, угол АЕВ=углуСЕВ => треугольники АЕВ и СЕВ равны по стороне и двум прилегающим к ней углам. Отсюда АВ=ВС => ΔАВС - равнобедренный, что и требовалось доказать.
Остальное решаешь сам(а), удачи!
Из точки описанной окружности на прямые сторон треугольника опущены перпендикуляры. Основания перпендикуляров лежат на прямой Симсона.
Точка I лежит на биссектрисе угла B, следовательно делит дугу XY пополам. Пусть Bo - середина хорды XY. Тогда IBo - серединный перпендикуляр к XY (хорды IX и IY равны, стягивают равные дуги).
I - точка на окружности, описанной около треугольника XBY. IAo, IBo, ICo - перпендикуляры, опущенные на стороны треугольника XBY. Основания перпендикуляров Ao, Bo, Co лежат на прямой Симсона.
