Найдите боковую сторону ab трапеции abcd, если углы abc и bcd равны соответственно 30 градусов и 135 градусов, а cd=17
!

Решение: 
Пусть имеется прямоугольный треугольник ABC с вписанной окружностью, причем BC -- гипотенуза. 
Известна длина гипотенузы (12+5 = 17). Известно, что две касательных, проведенных к одной окружности из одной точки, равны. На чертеже видим 3 пары касательных к одной окружности, которые попарно равны. Запишем эти соотношения (сами, сами). Так как длины отрезков гипотенузы известны, то получается, что известны длины отрезков каждого катета. Обозначим длину неизвестных отрезков катетов величиной X. Запишем выражение теоремы Пифагора для этого треугольника с учетом известных величин: 
BC^2 = AC^2 + AB^2 => 17^2 = (5+x)^2 + (12+x)^2 
Раскрываем скобки: 
289 = 25 + 10x + x^2 + 144 + 24x + x^2 
и получаем квадратное уравнение: 
2x^2 + 34x - 60 = 0 
сокращаем в 2 раза: 
x^2 + 17x - 60 = 0 
Решаем уравнение: 
D=b^2-4ac = 289 + 240 = 529 
x1,2 = (-b +- sqrt(D) ) / (2a) 
Отрицательный корень сразу отбрасываем, остается: 
x = (-17 + 23) / 2 = 3 
Окончательно, длины катетов: 
12 + 3 = 15 см и 5 + 3 = 8 см. 
Проверяем выполнение теоремы Пифаогра: 
15^2 + 8^2 = 17^2 
225+64=289 
Равенство выполняется, следовательно, найденное решение верно.решай по подобию этого

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ =8 и АС = 64.

Точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD  перпендикулярная прямой АО , пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

–––––––––––––––––

Продлим ВD до пересечения с окружностью в точке М. 

Хорда МВ перпендикулярна радиусу ОА ( по условию)  и при пересечении с ним делится пополам ( свойство). 

Тогда  радиус ОА делит угол ВОМ пополам. Дуги АМ и АВ, на которые опираются равные центральные углы МОА и ВОА, также равны. 

Отсюда следует равенство углов АВМ и ВСА - опираются на равные дуги. 

В треугольниках АВС и АВD угол ВАС общий, ∠АВD=∠ВСА ⇒

 ∆ АВС ~  ∆ АВD по 1-му признаку подобия. Из подобия следует отношение:

АВ:АС=АD:АВ

АВ²=АD•AC

64=AD•64⇒  AD=1

CD=64-1=63 (ед. длины)