Дано: аbc-треугольник
аd _|_ bc
ce _|_ ab
доказать: треугольник adb подобен треугольнику ceb

: с

Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные треугольники (свойство).
Точка М - общая точка этих биссектрис на стороне AD.
Поэтому АВ=АМ=CD=DM,  (так как АВ=СD, как противоположные стороны параллелограмма).
Пусть АВ=AM=DM=a.
В треугольниках АВМ и DCM по теореме косинусов:
12²=2a²(1-CosA)
16²=2a²(1-CosD).   CosD= -CosA, так как Соs(180- α)= -Cosα.
Тогда имеем:
144=2a²(1-CosA)  (1)
256=2a²(1+CosA)  (2).   Делим (2) на (1):
16/9=(1+CosA)/(1-CosA) .   => CosA=7/25.  => SinA=√(1-49/625)=24/25.
Из (1) а² = 72/(1-CosА) = 100,  а=10.  AD=2*AB.
Sabcd=AB*AD*SinA = 10*20*24/25=192см².

Такую задачу можно делать с теоремы о пропорциональных отрезках, но при этом нужно проводить дополнительные линии, а мне делать это лень. Поэтому воспользуемся теоремой Менелая. Советую перед разбором решения ознакомиться с формулировкой этой теоремы.    А заодно и с теоремой Чевы. А если посмотрите и теорему Ван-Обеля, вы будете подкованы на 100%.

Кстати, удобно сначала воспользоваться теоремой Чевы. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в одной точке, справедливо равенство.

То есть в QK четыре части, а в KP одна часть. Следовательно, в PQ=PK+KQ пять частей, а тогда

Для нахождения второго отношения воспользуемся теоремой Ван-Обеля. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в точке S, то

Для нахождения третьего отношения применим теорему Менелая к треугольнику PRS и прямой NK, которая пересекает стороны PR и PS и продолжение стороны RS. Имеем:

Внимание для тех, кто хочет (и знает, как) сделать сайт лучше и комфортнее! В данный момент я имею в виду не преодоление тех очевидных недостатков, которые становятся очевидными в первые пять минут,  а плохую работу встроенного TEX'а. Впечатление, что здешние айтишники не знают, как решить возникающие проблемы. Предложите им свои услуги!