abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad
тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4;
пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y
площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy
выразим через s площади befc и aefd.
площадь aefd равна сумме площадей aofd и aeo.
рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd равна разности площадей acd и ocf:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
площадь befc равна разности площадей abcd и aefd:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
s(befc): s(aefd)=5/4*xy: 27/4*xy=5: 27
Объяснение:
Дано:
АВСА1В1С1 - прямая призма
АВ = 3 см
АС = 8 см
АА1 = 15 см - высота призмы
Найти:
S(бок) , S(полн) , V.
Решение.
Запишем уравнение теоремы косинусов
a^2 = b^2 + c^2 + 2bc*cos(a)
Рассмотри треушольник АВС. По теореме косинусов имеем
ВС^2 = AC^2 + AB^2 - 2*AC*AB*cos(60) =
= 8^2 + 3^2 - 2*8*3*0,5 =
= 64 + 9 - 24 =
= 49
тогда ВС = 7 см
Площадь боковой поверхности S(бок) прямой призмы
S(бок) = АА1*(АВ + АС + ВС) =
= 15(3 + 8 + 7) =
= 270 см^2
Найдем площадь основания S(осн) как площадь треугольника по двум сторонам и синус угла между ними
S(осн) = 0,5*АВ*АС*sin(60) =
= 0.5*3*8*кор (3)/2 =
= 6*кор (3) см^2
Полщадь полной поверхности S(полн) прямой призмы
S(полн) = S(бок) + S(осн) =
= 270 + 6*кор (3) см^2
Объем V прямой призмы
V = S(осн) *h =
= 6*кор (3)*15 =
= 90*кор (3) см^3
ответ: S(бок) = 270 см^2, S(полн) = 270 + 6*кор (3) см^2, V = 90*кор (3) см^3.
