На ребрах AB и CB треугольной пирамиды DABC отмечены точки М и N, AM:MB=CN:NB=3:1. P и Q - середины ребер DA и DC. В каком отношении плоскость PQM делит пирамиду?
PQ||AC, MN||AC (по т о пропорциональных отрезках) => PQ||MN
Через две параллельные проходит плоскость PQMN
Рассмотрим пирамиду с основанием AMNC и вершиной P.
△MBN~△ABC, k=MB/AB=1/4
S(MBN)/S(ABC) =k^2 =1/16 => S(AMNC)/S(ABC) =15/16
Высоты из P и D на (ABC) относятся 1:2
V(PAMNC)/V(DABC) =15/16 *1/2 =15/32
Рассмотрим пирамиду с основанием QNC и вершиной P.
S(QNC)/S(DBC) =CQ*CN/CD*CB =CQ/CD *CN/CB =1/2 *3/4 =3/8
Высоты из P и A на (DBC) относятся 1:2
V(PQNC)/V(ADBC) =3/8 *1/2 =3/16
V(PAMNC)+V(PQNC) =(15/32 +3/16) V(DABC) =21/32 V(DABC)
Плоскость PQM делит пирамиду DABC в отношении 11:21.
Большая часть 21/32 от объема DABC.
Доказано, что диагонали равны.
Объяснение:
В выпуклом четырехугольнике прямая, которая проходит через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.
Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник;
AC и BD - диагонали;
АМ = МВ; DК = КС;
∠АЕМ = ∠DОК.
Доказать: AC = BD.
Доказательство:
Дополнительное построение:
Отметим Н - середина ВС.
Соединим М и К с Н.
Обозначим углы 1, 2, 3, 4 (см. рис)
1. Рассмотрим ΔАВС.
АМ = МВ (условие);
ВН = НС (построение)
⇒ МН - средняя линия ΔАВС.
Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.⇒ МН || AC, МН = 0,5AC
2. Рассмотрим ΔВСD.
CK = KD (условие);
ВН = НС (построение)
⇒ НK - средняя линия ΔВСD.
⇒ НK || BD, НK = 0,5BD
3. Рассмотрим ΔМНК.
∠1 = ∠3 (накрест лежащие при МН || AC и секущей МK)
∠2 = ∠4 (накрест лежащие при НК || BD и секущей МK)
∠1 = ∠2 (условие) ⇒ ∠3 = ∠4
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.⇒ МН = НК.
4. МН = 0,5AC ⇒ АС = 2МН (п.1)
НK = 0,5BD ⇒ BD = 2HK (п.2)
МН = НК (п.3)
⇒ АС = ВD
Доказано, что диагонали равны.
#SPJ1
