3) Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.
Так как углы, взятые в порядке следования относятся как 1:3:4 , то ∠А=х , ∠В=3х , ∠С=4х и ∠А+∠С=х+4х=5х=180° , х=36° .
∠А=36° , ∠В=3*36°=108° , ∠С=4*36°=144°
Сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360°.
∠D=360°-36°-108°-144°=72°
Или ∠В+∠D=5х , ∠D=5x-∠B=3x-3x=2x , 2x=2*36°=72° .
4) Сторона правильного треугольника равна 
.
Радиус вписанной окружности в прав. тр-к равна 1/3 его высоты, то есть 
.
Сторона прав.четырёхугольника - квадрата, описанного около окружности, равна 
.
Периметр квадрата равен 
см.
Объяснение:
r - радиус вписанной окружности, r = 12 см.
АВ = NP = 2r = 2 x 12 = 24 см.
СН - высота трапеции, СН = АВ = 24 см.
По теореме Пифагора в треугольнике НСD:
CD^2 = CH^2 + HD^2;
25^2 = 24^2 + HD^2;
625 = 576 + HD^2;
HD^2 = 49;
HD = 7 см.
Пусть NC = x см. Тогда по свойству касательных СК = NC = х см.
DK = DC - CK = 25 - x.
PH = NC = x;
DP = DH + PH = 7 + x.
По свойству касательных: DP = DК. Получим уравнение:
7 + х = 25 - х;
х + х = 25 - 7;
2х = 18;
х = 9.
NC = 9 см;
ВС = BN + NC = r + x = 12 + 9 = 21 см;
AD = AP + PD = r + 7 + x = 12 + 7 + 9 = 28 см.
Периметр трапеции:
P = AB + BC + CD + AD = 24 + 21 + 25 + 28 = 98 см.
