Боковая сторона AB трапеции ABCD образует с основанием угол 30°.

Вычисли сторону AB, если высота BK равна 15 см.

ответ: сторона AB равна___см.

Как ни удивительно, но в данном случае формула Герона для площади - это самый простой вычисления синуса большего угла. К сожалению, этот треугольник нельзя разрезать на Пифагоровы.

 

Первое, что надо понять - все размеры можно смело сократить на 5. В этом случае получается треугольник со сторонами 8, 15, 21, подобный исходному, то есть у него - такие же точно углы. Нужно найти угол противолежащий стороне 21(против большей стороны лежит больший угол). Обозначим его Ф.

Надем площадь. 

Полупериметр (8 + 15+ 21)/2 = 22; 22 - 8 = 14; 22 - 15 = 7; 22 - 21 = 1;

S^2 = 22*14*7*1 = 11*14^2; S = 14*корень(11);

Поскольку S = 8*15*sin(Ф)/2, то sin(Ф) = (7/30)*корень(11);

 

С другой стороны, для cos(Ф) можно записать теорему косинусов

21^2 = 8^2 + 15^2 - 2*8*15*cos(Ф); 

Откуда cos(Ф) = (21^2 - 8^2 - 15^2)/240 = 19/30;

 

Поскольку оба результата на первый взгляд получены разными можно проверить, что

(sin(Ф))^2 +  (cos(Ф))^2 = 1; сделайте это сами :)

 

Для начала найдем отношение ВР/РС. Для этого:
Проведем  BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD.
∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1).
∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2).
Из (1) BD/AM=4  и BD=4AM = 2AC.
Из (2) BP/PC=2.
ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm.
Треугольники  АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc.
Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc.
Треугольники  ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC.
Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc.
Тогда Skpcm=Sapc-Sakm  =  (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc.
Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.