Геометрия 10 класс
1. Знайдіть довжину відрізка з кінця в точках А(-2; 3; -1) і В (2; 4; -9).

2. Задано вектори с і d. Зобразіть їх суму і різницю

3. Знайдіть скалярний добуток векторів a(-3; 4; 2) і m(0; 7; -2)

4. Точка М - середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А, якщо М(-2; 3; -1), В(4; 5; 1).

5. Задано вектори k(2; 0; -1) і t(4; 6; -2). Знайдіть координати вектора:1) 2k - t 2) 3k + 1/2t

6. Запишіть координати точок, симетричних точці В(-2; 0; 3) відносно площини: 1) ху; 2) хz.

7. На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(2; -2; 3) і D(4; 0; 5).

8. Знайдіть кут між веторами a(4; 0; -4) і b(1; 1; 0).

9. Доведіть за до веторів, що чотирикутники KLMN є трапецією, якщо K(5; 7; -2), L(5; 2; 3), M(-3; -2; -1), N(-1; 4; -5).

Находим угол АОВ с учетом того, что АО и ОВ - биссектрисы углов А и В (по свойству центра вписанной окружности):
АОВ = 180-(1/2)А-(1/2)В = 180-((1/2)(А+В)) = 180-((1/2)(180-60) =
= 180-90+30 = 120°.
Зная 2 стороны и угол, находим сторону АВ треугольника АОВ:
АВ =√(6²+10²-2*6*10*cos120) = √36+100-120*(-1/2)) = √196 = 14 см.
Зная стороны треугольника АОВ, находим углы А и В (А = 2*ВАО, В =2*АВО) по теореме синусов.
sin BAO = sin120*10/14 =  0.866025*10/14 =  0.6185896°.
Угол ВАО = arc sin  0.6185896 =  0.6669463 радиан = 38.213211°
Угол А = 2* 38.213211 =  76.426421°.
sin ВAO = sin120*6/14 =  0.3711537.
Угол ВАО = arc sin  0.3711537 =  0.3802512 радиан = 21.786789°.
Угол В = 2*  21.786789 =  43.573579°.
Зная углы треугольника АВС и одну сторону АВ = 14 см, находим 2 другие по теореме синусов:
ВС = 14*sin A /sin C = 14* 0.972069 /  0.866025 =   15.71428571 см.
АС = 14*sin В /sin C = 14* 0.6892855 /  0.866025 =   11.14285714 см.
Находим площадь треугольника АВС по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) =  75.82141 см².
Здесь р = (а+в+с)/2 =  20.428571 см.
Радиус описанной окружности R = abc / 4S =  8.0829038 см.

Так как плоскость АВ₁С₁ пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то проводим DC₁||AB₁

Плоскость АВ₁С₁ - это плоскость АВ₁С₁D
По теореме Пифагора  DC₁²=6²+8²=100
DC₁=10
РК- средняя линия треугольника DCC₁
PK=5

PT|| AD   и    PT ||   ВС
РТ=4

AD⊥CD    ⇒   РТ⊥СD
AD⊥DD₁   ⇒   РТ⊥ DD₁

РТ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DD₁C₁C, значит перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе прямой  РК
РТ⊥ РК
Аналогично, МТ ⊥МК
Сечение представляет собой прямоугольник
Р(cечения)=Р( прямоугольника ТМКР)=2·(4+5)=18