Дано: ΔАВС - прямокутний, ∠А=90°, АС=30 см, ВС=34 см; МК⊥ВС, ВМ=МС. Знайти МК.
Знайдемо АВ за теоремою Піфагора:
АВ=√(ВС²-АС²)=√(1156-900)=√256=16 см.
Проведемо ВК і розглянемо ΔВКС - рівнобедрений, тому що ВМ=СМ і МК⊥ВС, отже ВК=КС.
Нехай АК=х см, тоді КС=ВК=30-х см.
Знайдемо АК з ΔАВК - прямокутного:
АВ²=ВК²-АК²; 16² = (30-х)² - х²; 256=900-60х+х²-х²;
60х=900-256=644; х=10 11/15 см. АК=10 11/15 см, тоді
ВК = 30 - 10 11/15 = 19 4/15 = 289/15 см.
Знайдемо МК за теоремою Піфагора з ΔВМК, де ВМ=34:2=17 см.
МК²=ВК²-ВМ²=(289/15)² - 17² = (83521/225) - 289 = 18496/225.
МК=√(18496/225)=136/15=9 1\15 см.
Відповідь: 9 1/15 см.
Теорема о 30-градусном угле такова: Катет, противолежащий углу 30-градусов в прямоугольном треугольнике — равен половине гипотенузы.
Тоесть катет BC — равен половине гипотенузы AB.
Но нам эта информация не в решении задачи, продолжим.
<B = <C - <A = 90-30 = 60°.
BD биссектриса — делит угол B — пополам, тоесть: <ABC == <DBC = 60/2 = 30°.
<A == <ABD = 30° => AD == DB; треугольник ABD — равнобедренный.
BD = 20 => AD == BD = 20.
<BDC = 30° => DC = DB/2 (теорема о 30-градусном угле прямоугольного треугольника).
DB = 20 => DC = 20/2 = 10
AD = 20; DC = 10 => AC = 10+20 = 30.
Вывод: AC = 30.
