В треугольнике АВС АВ > ВС > АС. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.
2. В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С.
3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол В равен 35°, CD — высота. Найдите углы треугольника ACD.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.

  Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 13.  
 Диаметр окружности, следовательно, равен 26, и является диагональю  данного по условию прямоугольника.
 Обозначим вершины прямоугольника АВСД.  
 Тогда ВД - его диагональ и делит прямоугольник на два  равных прямоугольных треугольника -АВД и ВСД.  
Рассмотрим треугольник ВСД. 
Гипотенуза равна 13, и вспоминается одна из троек Пифагора с  отношением  его сторон сторон прямоугольного треугольника 5:12:13. Отношение сторон этого треугольника может быть таким же: 
ВС:СД:ВД=5:12:13 
Тогда его гипотенуза 26, катеты 10 и 24,
 И площадь  прямоугольника АВСД= 10*24=240.  
Всё сходится.
 Но не всегда вспоминаются эти тройки, да и отношение сторон  может быть иным. 
Решение.  
Площадь треугольника ВСД равна половине площади  прямоугольника АВСД и равна 120.  
Проведем в этом треугольнике высоту СН.  
Площадь ВСД=СН*26:2 
120*2=СН*26 
СН=240/26=120/13 
ВС - сторона прямоугольника = катет треугольника ВСН.  
Найти его можно из этого треугольника по т.Пифагора. 
Для того, чтобы найти ВН, воспользуемся правилом: 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины 
 прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой; 
СН²=ВН*НД 
(120/13)²=ВН*(26-ВН) 
Обозначим ВН=х, тогда НД=26-х 
Подставим в уравнение высоты эти значения: 
1400/169=26х-х² 
Домножим обе части уравнения на 169, чтобы избавиться от дроби: 
1400=4394х-169х²  
169х²-4394х+14400=0 
Решим квадратное уравнение: 
Дискриминант равен: 
D=b²-4ac=-43942-4·169·14400=9572836 
х=(-b±√D):2а 
х1=-(-4394)+√9572836):2*169= (4394+3094):338=7288/338=288/13  
Второй корень находить нет необходимости. 
Найдем катет ВС. 
Катет прямоугольного треугольника есть среднее  пропорциональное между гипотенузой (ВД)  и отрезком (ВН)  гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.  
ВС²=ВН²+СН²
 ВС²=(288/13)²+(120/13)² 
ВС²=576 
ВС=24 
Из площади прямоугольника найти вторую его сторону не   составит труда. 
АВ=240:24=10  
Периметр прямоугольника 
 Р=2(АВ+ВС)=2*(24+10)=68 

Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.Значит нужно найти стороны прямоугольника и высоту параллелепипеда.
S(пол)=2Sосн+S(бок)=2аb+Ph,а и b стороны основания,Р периметр и h высота
2ab+18h=112⇒ab+9h=56⇒ab=56-9h
V=S(осн)h=abh=80
(56-9h)h=80
9h²-56h+80=0
D=3136-2880=256  √D=16
h1=(56+16)/18=4⇒ab=56-9*4=20 u a+b=9,т.к.периметр 18.Можно применить теорему Виета⇒а=5 и b =4 или наоборот.
d²=a²+b²+h²=25+16+16=57⇒d=√57
h2=(56-16)/18=40/18=20/9⇒ab=56-9*20/9=36 U a+b=9
a=9-b
(9-b)b=20/9
b²-9b+20/9=0
9b²-81b+20=0
D=6561-720=5841  √D=3√649
b1=(81-3√649)/18⇒a=9-(81-3√649)/18=(81+3√649)/18
b2=(81+3√649)/18⇒a=9-(81+3√649)/18=(81-3√649)/18
d²=(20/9)²*(81-3√649)/18*(81+3√649)/18=400/81*720/324=8000/27
d=40√5/3√3=40√15/9