В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Найдите диаметр окружности, если сумма катетов равна 23
см, а гипотенуза треугольника равна
17
см.

Построим параллельно короткой боковой стороне АБ отрезок ДВ
И нахождение острых углов трапеции равносильно нахождению углов при основании синего треугольника
По теореме косинусов для угла Д
35² = 28²+42²-2*28*42*cos∠Д 
2*28*42*cos∠Д = 28²+42²-35² = 1323
cos∠Д = 3³*7²/(2*4*7*2*3*7) = 3²/16 = 9/16
∠А = ∠Д = arccos(9/16) ≈ 55,77°
∠Б = 180-∠А = 180-arccos(9/16) ≈ 34,23°
По теореме косинусов для угла Г
28² = 35²+42²-2*35*42*cos∠Г
2*35*42*cos∠Г = 35²+42²-28² = 2205
cos∠Г = 3²*5*7²/(2*5*7*2*3*7) = 3/4
∠Г = arccos(3/4) ≈ 41,41°
∠В = 180-∠Г = 180-arccos(3/4) ≈ 138,59°

1.
Верны 1 и 3 утверждение.

2. Проведем высоты трапеции ВН и СК. ВСКН - прямоугольник, значит
НК = ВС = 4
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD так как трапеция равнобедренная, ВН = СК как высоты), ⇒
АН = DK = (AD - HK)/2 = (14 - 4)/2 = 5
АК = АН + НК = 5 + 4 = 9
ΔCKD:  по теореме Пифагора
             СК = √(CD² - KD²) = √(169 - 25) = √144 = 12
ΔАСК: по теореме Пифагора
           АС = √(АК² + СК²) = √(81 + 144) = √225 = 15

3.
Угол, соответствующий большей дуге АВ:
360° - 45° = 315°
315° / 45° = 7 - он в 7 раз больше угла, соответствующего меньшей дуге.
Значит и длина большей дуги в 7 раз больше:
91 · 7 = 637