Площина α перетинає відрізок АС у точці В, причому АВ : ВС = 2 : 1. Через точки А і С проведено паралельні прямі, які перетинають площину α у точках А1 і С1 відповідно. Знайдіть периметр трикутника АВА1, якщо периметр трикутника СВС1 дорівнює 4.

В прямоугольном треугольнике точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят эти стороны на пары РАВНЫХ касательных, проведенных из одной точки (вершины треугольника) к этой окружности. Кроме того, эти точки отделяют на катетах, считая от вершины прямого угла, отрезки, равные радиусу вписанной окружности.
Тогда можно записать, что
X+Y=10 и по Пифагору (X+2)²+(Y+2)²=100. Решаем эту систему методом подстановки: Y=10-X.
X²+4x+4+(10-X)²+4(10-X)+4=100.
Отсюда  X²-10X+24=0.
X1=6, Y1=4.
X2=4, Y2=6.
то есть катеты нашего треугольника равны 6см и 8см.
Тогда S=(1/2)*6*8=24см²  Р=6+8+10=24см. это ответ.

Дано :

∆АВС — прямоугольный (∠С = 90°).

AD = BD.

АС = 12, CD = 10.

Найти :

S(∆ABC) = ?

Так как D — середина АВ, то CD — медиана ∆АВС (по определению).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Следовательно, АВ = 2CD = 2*10 = 20.

По теореме Пифагора найдём длину катета СВ :

AB² = AC² + CB²

CB² = AB² - AC² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256 => CB = √CB² = √256 = 16.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следовательно, S(∆ABC) = ½*AC*CB = ½*12*16 = 96 (ед²).

96 (ед²).