1) Дан тетраэдр DABC. Точка М – середина ребра AВ. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани DВС. Найти периметр сечения, если ребро тетраэдра равно а =15см.

2) Изобразите параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью АСС1 . Докажите, что построенное сечение является параллелограммом.

3) 3) Дан куб АВСDА1В1С1D1 . Точка К - середина ребра В1С1. Постройте сечение плоскостью, проходящей через точки А, В, К. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно а = 8см

Построение: 

Проведем произвольную прямую а. Отметим на ней точку В. 

1) Из вершины В данного угла раствором циркуля, равным длине ВК,  делаем насечки М и Е на сторонах угла.

2) Соеденим точки М и Е. 

3) Отложим на прямой а от В отрезок BК, равный ВМ=биссектрисе ВК. 

4) Из точки К проведем полуокружность радиусом, равным отрезку МЕ 

5) От В раствором циркуля, равным ВЕ, проведем полуокружность до пересечения с полуокружностью из К 

6) Через точку пересечения полуокружностей проведем луч ВЕ'. Данный по условию угол построен.  

7)  Точно так же построим угол, равный построенному, в другой полуплоскости от прямой а. Получившийся угол равен двум углам ВКС ( в котором ВК - биссектриса)

8)  Из К, как из центра, проведем полуокружность радиусом. равным отрезку СК. Точку пересечения с лучом ВЕ' обозначим С. 

9) От С через К проведем прямую до пересечения со второй стороной  построенного угла ( которая по другую сторону от а).Точку пересечения обозначим А. 

10) Треугольник АВС построен. В нем ВК - биссектриса заданной длины, угол СВА=2 угла СВК, КС равен заданному отрезку СК. 

Значит так. Нарисуй прямоугольный треугольничек. Поскольку угол А=60, то угол В будет равен 30, т. к. сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а угол С, по условию равен 90. Т. о. катет АС лежит против угла в 30 градусов и равен половине гипотенузы, т. е. АС=9. Опускаем высоту из С на АВ в точку М и рассматриваем получившийся треугольник АСМ. В нем АС будет гипотенузой, а АМ - катетом, тоже лежащим против угла 30 градусов (почему, подумай сама) . Следовательно АМ=4.5. Ну а дальше все просто: извесны гипотенуза и катет. Следовательно по теореме Пифагора можем найти второй катет, который будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и первого катета. СМ=Sqrt(AC^2-АМ^2)=Sqrt(81-20.25)=Sqrt(60.75)=7.79 Здесь Sqrt - квадратный корень.