АВ 83 АС 114 найти угол ВОС и угол ВАС

1)Дано:тр.АВС,угол С=90 гр,СД-высота,угол АСД=4угламДСВ. 
Найти:угол А,угол В. 
Решение: 
1)пусть угол ДСВ=х гр,тогда угол АСД=4х гр. 
х+4х=90 
5х=90 
х=18 
Значит,угол ДСВ=18 гр,угол АСД=72 гр. 
2)угол А=90-72=18(гр);угол В=90-18=72(гр).

2)

треугольник АМВ прямоугольный,угол М=90градуссов,угол МВА=30 градуссов,АМ=половине АВ,так как катет лежит против угла в 30 градуссов,АМ=9 см

По теореме Пифагора можем найти ВМ,АВ в квадрате= АМ в квадрате +ВМ в квадрате

ВМ= корень квадратный из АВ в квадрате минус Ам в квадрате

ВМ=9 корней из 3 см 

 

На чертеже точки касания N и N1 изображены совпадающими, но это еще надо доказать. Поэтому СНАЧАЛА я не считаю их совпадающими. То есть окружность O1 касается AC в точке N, а окружность O2 - в точке N1 (слова "с центром" дальше буду опускать, если и так ясно).
Для треугольника ABC точки касания с O1 делят стороны на три отрезка AN, CN и еще один (точнее, два равных) из вершины B. Я обозначу его например буквой x.
Тогда очевидно
AN + CN = AC;
AN + x = AB;
CN + x = BC;
Если вычесть из второго третье, получится AN - CN = AB - BC; если теперь сложить это с первым, то 
AN = (AC + AB - BC)/2;
Точно так же для треугольника ACD получается 
AN1 = (AC + AD - CD)/2; и нигде не предполагается, что AN = AN1; это надо доказать.
Весь четырехугольник ABCD является ОПИСАННЫМ, то есть AD + BC = AB + CD;
или AD - CD = AB - BC; или AC + AD - CD = AC + AB - BC; то есть AN = AN1, и точки N и N1 совпадают, это просто одна точка N. 
Последствия этого очень велики. :) Окружности O1 и O2 касаются, AC является общей касательной, проведенной в точке касания N окружностей O1 и O2, и линия центров O1O2 перпендикулярна AC. 
Важно! - пока нигде не использовано, что ABCD - трапеция! Этот результат справедлив для любого выпуклого описанного четырехугольника.
Поэтому (см. чертеж) ∠KO1O2 = ∠CAD (стороны углов перпендикулярны), и треугольники KO1O2 и ACP подобны. CP - высота трапеции. Она равна
CP = 2R = 40; 
сумма радиусов окружностей равна O1O2 = 25; отсюда легко найти KO1 = 40 - 25 = 15; получился "египетский" треугольник :) то есть KO2 = 20;
Ну, и из подобия KO1O2 и ACP AC = 50 (поскольку СP = 2*KO2  :) )