task/30246302 В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.
решение Для определенности пусть медиана BM , а высота BH . Координаты этой вершины B определяется в результате решения системы { x -5y +7=0 ; x + 4y-2= 0 . ⇔ {x-5y +7=0 ; 9y =9. ⇔{ x= -2 ; y= 1 . B(- 2; 1).
Уравнение стороны AC будет имеет вид y - 6 = k(x - 4) ; угловой коэффициент k определяется из k* k₁= - 1 , где k₁ угловой коэффициент прямой BH (т.к. AC⊥ BH ): x+4y -2=0 ⇔ y = (-1/4)x +1/2. ( k₁ = -1/4 ⇒ k = 4). y - 6 = 4(x - 4)
уравнение стороны AC : 4x - y - 10 = 0 . * * *(1/√17)*(4x -y -10) =0 * * *
Для определения координаты вершины С сначала определим координаты середины стороны AC (точка M) , а для этого достаточно решить систему уравнений ( уравнении прямых AC и BM) :
{ x- 5y +7=0 ; 4x - y - 10 = 0. ⇔ { x=3; y =2 . M(3 ; 2)
x(C) =2x(М)-x(A) =2*3-4 =2 ; y(C) =2y(М)-y(A) =2*2-6 =-2. C(2 ; -2)
* * * т.к. x(М)= ( x(A) + x(C) ) / 2 ; y(М)=( y(A) +y(C) ) / 2. * * *
Уравнение прямой AB: y-6=[(1-6):(-2 -4)]*(x -4) ⇔ 5x - 6y +16 =0.
Уравнение прямой BC: y-1=[(-2-1):(2 -(-2)]*(x -(-2)) ⇔ 3x+4y +2 =0.
Длина высоты BH (расстояние от точки B(-2 ; 1) до прямой AC ). Нормальное уравнение прямой AC: (4x - y - 10) /√17 = 0 * * * (4x - y - 10) /√(4²+ (-1)²) = 0 * * *
d = | 4*(-2) - 1 - 10 | / √17 = 0 . ⇔ d = 19 /√17= ( 19√17 ) / 17 .
Даны точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12).
Находим уравнение плоскости через эти точки.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 2 y - 1 z - 8
(-1) - 2 3 - 1 4 - 8
3 - 2 0 - 1 12 - 8
= 0
x - 2 y - 1 z - 8
-3 2 -4
1 -1 4
= 0
x - 2 2·4-(-4)·(-1) - y - 1 (-3)·4-(-4)·1 + z - 8 (-3)·(-1)-2·1 = 0
4 x - 2 + 8 y - 1 + 1 z - 8 = 0
4x + 8y + z - 24 = 0.
Переведём это уравнение в уравнение в "отрезках".
(x/(24/4)) + (y/(24/8) + (z/24) = 1.
(x/6) + (y/3) + (z/24) = 1.
Получили вершины тетраэдра:
А(6; 0; 0), В(0; 0; 0), С(0; 3; 0) и Д(0; 0; 24).
Находим длины перпендикуляров из начала координат (точка В) к отрезкам АС, АД и СД.
АС = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5.
ВК = (3*6)/(3√5) = 6/√5.
АД = √6² + 24²) = √(36 + 576) = √612 = 6√17.
ВМ = (6*24)/(6√17) = 24/√17.
СД = √(3² + 24²) = √(9 + 576) = √585 = 3√65.
ВЕ = (3*24)/(3√65) = 24/√65.
Находим наклонные отрезки ДК, СМ и АЕ.
ДК = √(24² + ВК²) = √(576 + (36/5)) = √(2916/5).
СМ = √(3² + ВМ²) = √(9 + (576/17)) = √(729/17).
АЕ = √(6² + ВЕ²) = √(36 + (576/65)) = √(2916/65).
Теперь можно определить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра,образованного плоскостями координат и плоскостью,проходящей через точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12) .
Косинус угла ДКВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОУ) равен: cos(ДКВ) = ВК/КД = (6/√5)/(√(2916/5)) = 6/√2916 = 1/9.
Косинус угла СМВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОZ) равен: cos(СМВ) = ВМ/СМ = (24/√17)/(√(729/17)) = 6/√2916 = 8/9.
Косинус угла ВЕА (наклона плоскости АВС к координатной плоскости УОZ) равен: cos(ВЕА) = ВЕ/АЕ = (24/√65)/(√(2916/5)) = 24/√2916 = 4/9.
