Начертить треугольник АВС. Построить образ этого треугольника при гомотетии с коэффициентом k и центром: а) в точке В, k= -2, б) в точке пересечения медиан, k=3.​

а) CD= b+(3/2)·a. MB= 2·(b-a). MD= b- (1/2)·a.

б) доказательство в объяснении.

Объяснение:

a) По правилу сложения векторов вектор CD = CE+ED. Вектор ED - средняя линия треугольника АВС и равен АС/2 = 3а/2, так как вектор СА = 3·СN = 3·a. Значит вектор CD = b+(3/2)·a.

Вектор МВ = СМ - MB = 2b - 2a = 2·(b-a).

Вектор MD = ME+ED; ME = CE-CM = b-2a. ED =(3/2)·a.  =>

Вектор MD = b- 2a + (3/2)·a = b - (1/2)·a.

б)  Вектор NE = b-a. Вектор МВ = 2·(b-a). Следовательно, вектор NE СОНАПРАВЛЕН вектору МВ, то есть, параллелен ему, что и требовалось доказать.

Треугольник АВС, ВМ-медиана, медианы делят треугольник на два равновеликих треугольника S ABM = S MBC=1/2 S ABC, треугольник АВМ, АК - медиана ВК=КМ,
S ABK = S AKM =1/2 ABM =1/4 S ABC
Проводим МН - параллельную АР, АР-средняя линия треугольника АРС =1/2АР, треугольник МВН , КР - средняя линия =1/2МН=1/4АР, АР=4КР, АК=АР-КР=4КР-КР=3КР, Проводим высоту ВТ - одинаковая для треугольника АВР и треугольника АВК, S АВР=1/2АР*ВТ=(4КР*ВТ)/2, S АВК=1/2АК*ВТ=(3КР*ВТ)/2
S ВКР=S АВР - S АВК = (КР*ВТ)/2, S АВК/S ВКР = ((3КР*ВТ)/2) / ((КР*ВТ)/2)=3/1
 S ВКР = 1/3 S АКВ = (1/4 АВС)*(1/3)=1/12
S МКРС = S МВС - S ВКР = 1/2S АВС - 1/12S АВС=5/12 S АВС
S АВК / S МКРС = 1/4 : 5/12 = 12/20=3/5