Длина стены 8м, а высота стены 5м. Хватит ли девяти ящиков кафеля, чтобы облицевать им эту стену, если одна плитка имеет форму квадрата со стороной 18см, а в один ящик помещается 150 плиток?

Из точки О построим  перпендикуляры ОК, ОН, ОК к прямым АВ, ВС и АС.

Треугольники ОВК и ОВН прямоугольные и равны, так как гипотенуза ОВ у них общая, а угол ОВН = ОВК, так как ВО биссектриса, тогда ОК = ОН.

Аналогично треугольник ОСН = ОСМ, а тогда ОМ = ОН.

Следовательно ОК = ОН = ОК, а значит через точки К, Н, С можно провести окружность с центром в точке О.

Треугольники АКО и АМО прямоугольные, у которых ОК = ОМ как радиусы окружности, АО общая гипотенуза, тогда треугольники равна по катету и гипотенузе. Следовательно, угол КАО = МАО, а АО биссектриса угла ВКМ и ВАС, что и требовалось доказать.

Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию, значит АА₁⊥(ABC).
BD лежит в плоскости АВС, значит
АА₁⊥BD.
Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому
BD⊥AC.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости:
BD⊥АА₁ и BD⊥AC, значит BD⊥АCC₁.

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость BB₁D₁ проходит через прямую BD, перпендикулярную плоскости АСС₁, значит
 BB₁D₁ ⊥ АСС₁.