Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом α при основі. Діагональ бічної грані, що містить основу трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об’єм призми.

Т.к. все три точки сечения призмы лежат попарно в одних и тех же плоскостях, то сечение строится попарным соединением точек - получаем в сечении ΔAB1C

Т.к. четырехугольники AA1B1B и BB1C1C равны, то равны и их диагонали AB1 и B1C ⇒ ΔAB1C равнобедренный.

Проведем медиану B1O в ΔAB1C, одновременно она будет и высотой ⇒ B1O ⊥ AC

Проведем медиану BO в равнобедренном ΔABC, одновременно она будет и высотой ⇒ BO ⊥ AC

Значит BOB1  будет углом между плоскостью сечения и нижним основанием, а т.к. нижнее и верхнее основание параллельны, то он равен углу между плоскостью сечения и верхним основанием, т.е. 45°

Из ΔBOB1, зная, что BO равно половине диагонали квадрата, найдем, что высота призмы BB1 = d /2

Из прямоугольного равнобедренного ΔABC  с гипотенузой AC = d, найдем

Объем призмы найдем как произведение площади основания на высоту:

1). Биссектриса СК делит угол С на два равных: АСК и КСВ. Зная угол НСК между высотой и биссектрисой, находим угол АСН:<ACH = <ACK - <HCK = 45 - 15 = 30°.В прямоугольном треугольнике АНС находим оставшийся неизвестный угол А:<A = 180 - ACH - AHC = 180 - 30 - 90 = 60°.Зная углы А и С, находим неизвестный угол В:<B = 180 - <C - <A = 180 - 90 - 60 = 30°.Зная, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, находим АС:АС = 1/2 АВ = 1/2*14 = 7 см.
2) Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, находим угол А и С:<A = <C = (180 - 120) : 2 = 30°После построения высоты АН получаем прямоугольный треугольник АНС. Его неизвестный катет АН (наша высота) лежит против угла 30 градусов и равен половине гипотенузы:АН = АС : 2 = 12 : 2 = 6 см
Подробнее - на -