Расстояние от точки М до середины стороны квадрата (апофема пирамиды МАВСD) ≈ 11 см
Объяснение:
Дано:
Квадрат АВСD
MA = МВ = МС = MD = 12 см
α = 60°
MАВСD - правильная четырёхугольная пирамида
Найти:
Апофему А пирамиды
Опустим перпендикуляр из точки М на основание АВСD. Он пересечёт основание в точке О. МО - высота пирамиды. ОА - проекция бокового ребра МА пирамиды на основание, поэтому заданный в условии угол α = 60° - угол между боковым ребром МА и его проекцией ОА.
В прямоугольном треугольнике МАО (∠МОА = 90°) найдём катеты ОА и МО
МО = МА · sin α = 12 · sin α = 12 · 0,5√3 = 6√3 (см)
OA = MA · cos α = 12 · cos 60° = 12 · 0.5 = 6 (см)
ОА является половиной диагонали квадрата АВСD.
Сторона квадрата а = 2АО : √2 = 12 : √2 = 6√2 (cм)
Апофему пирамиды найдём, используя теорему Пифагора
А² = МО² + (0,5а)² = (6√3)² + (0,5 · 6√2)² = 108 + 18 = 126 (cм²)
А ≈ 11,22 см
Пусть B-Начало координат
Ось X - BC
Ось Y - перпендикулярно X в сторону A
Ось Z - MB
Найдем MB из треугольника MAB = √(6^2-3^2)= 3√3
Координаты точек
E (1/2;√3/2;0)
D (2,5;√3/2;0)
L( 1;√3;√3)
Уравнение плоскости основания ABC
z=0
Уравнение плоскости EDL
ax+by+cz+d=0
Подставляем координаты точек E D L
a/2+√3b/2+d=0
2,5a+√3b/2 + d =0
a+√3b+√3c + d=0
a=0 Пусть d = - √3/2 тогда b=1 c= -1/2
Уравнение EDL
y - z/2 -√3/2=0
Косинус искомого угла равен
| (0;0;1) * (0;1;-1/2) | / | (0;0;1) | / | (0;1;-1/2) | = 1/√5
Cам угол - arccos(√5/5)
