Побудувати прямокутний трикутник АВС з прямим кутом С та провести бісектрису кута А

Трапеция ABCD, CD - наклонная боковая сторона. 
Радиус окружности очевидно равен 4.
Если соединить центр О окружности с вершинами C и D, то, поскольку СО и DO - биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных, то они взаимно перпендикулярны. То есть треугольник COD прямоугольный, и радиус в точку касания ОМ (касания окружностью стороны CD, конечно) играет роль высоты к гипотенузе CD.
При этом DM = 8, и СМ*DM = OM^2; (это следует из подобия треугольников OMC и OMD, OM/CM = DM/OM) и CM = 2; (ну, 2*8 = 4^2);
AD = 12; AB = 8; BC = 4 + 2 = 6; CD = 2 + 8 = 10;
как и полагается, AD + BC = AB + CD;
Теперь известен периметр 12 + 8 + 6 + 10 = 36; и площадь равна 4*36/2 = 72;

Пусть угол при основании равен α; боковая сторона b; основание a; ну и R = 25; r =12; тогда
b*sin(α) = a/2; b*cos(α) = h; (высота к основанию); S = a*h/2 = b^2*sin(α)*cos(α);
при этом полупериметр p = b + a/2 = b*(1 + cos(α)); S = p*r; 
b^2*sin(α)*cos(α) = b*(1 + cos(α))*r;
по теореме синусов b = 2*R*sin(α); 
2*R*(sin(α))^2*cos(α) = r*(1 + cos(α)); 
2*R*(1 - (cos(α))^2)*cos(α) = r*(1 + cos(α)); 
2*(1 - cos(α))*cos(α) = r/R; вот это квадратное уравнение относительно cos(α); 
Пусть cos(α) = x;
x^2 - x + r/(2R) = 0;
x = 1/2 +- √(1/4 - r/(2R));
это в сущности ответ. Интересно, что получилось 2 решения, и оба "физически" возможны. При r/(2R) = 12/50; возможны 2 случая
1. cos(α) = 3/5; тогда sin(α) = 4/5; b = 50*4/5 = 40; a = 2*b*cos(α) = 80*3/5 = 48;
в этом случае треугольник составлен из двух египетских (24, 32, 40)
2. cos(α) = 2/5; тогда sin(α) = √21/5; b = 50*√21/5 = 10√21; a = 2*b*cos(α) = 8√21;