В формулировке теоремы можно выделить исходные данные (посылку, предпосылки) , и вывод.
В обратной теореме вывод и посылка меняются местами.
Это получается правильно в тех случаях, когда имеется однозначное соответствие между посылкой и выводом, то есть первое без второго не бывает, как и второе без первого.
Но есть случай формулировки когда отсутствию первого всегда соответствует отсутствие второго. Это тоже один из вариантов формулировки обратной теоремы - противоположная теорема. И при этом также есть взаимно однозначное соответствие. В обеих теоремах должен реализоваться принцип необходимости и достаточности. Свойства о которых говорится в посылке необходимы и достаточны для наличия свойств оо которых говорится в выводе, и наоборот. Это и есть вхзаимное соответстствие.
Обратная теорема
Обратная теорема, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением — условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и О. т. взаимно обратны. Например, теоремы: "если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны" и "если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны" — являются обратными друг другу. Из справедливости какой-нибудь теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема: "если число делится на 6, то оно делится на 3" — верна, а О. т. : "если число делится на 3, то оно делится на 6" — неверна. Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема "две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются", так и обратная к ней теорема "две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр". Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии вторая просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и её условие. Известный "доказательства от противного" как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения
А не так-то и просто :) Пусть через вершину C проведена прямая, параллельная AB, и A2 - это точка пересечения этой прямой c продолжением прямой AA1; Сразу видно две пары подобных трегольников Треугольник APC1 подобен треугольнику A2PC; что означает CA2/AC1 = CP/PC1; Треугольник AA1B подобен треугольнику CA1A2, что означает CA1/A1B = CA2/AB = CA2/(2*AC1) = (1/2)*CP/PC1; То же самое можно сделать "с другой стороны медианы" (отметить на CA2 точку B2 пересечения с прямой BB1, и рассмотреть аналогичную пару подобных треугольников. Однако можно и это не делать - у вершин A и B можно просто поменять местами обозначения A <=> B) то есть CB1/B1A = (1/2)*CP/PC1 = CA1/A1B; то есть A1B1 II AB по теореме Фалеса (ну, или в силу доказанного подобия треугольников ABC и A1B1C, если хотите).
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
