Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса
R=39
​

В прямоугольном треугольнике катет противолежащий углу в 30° равен половине гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике катет противолежащий углу в 60° равен меньшему катету умноженному на √3.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Из условия задачи:

∠C = 90°

∠A = 60°

Тогда ∠B = 180°-90°-60° = 30°.

Гипотенуза (BA) равна 10 см.

Сторона AC противолежащая углу B равному 30°  равна половине гипотенузы (BA), то есть 10:2=5 см.

Сторона BC противолежащая углу A равному 60°  равна

стороне AC (5 см)  умноженной на √3, то есть 5√3.

ответ: сторона BC равна 5√3.

Если диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды-равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен "а", то основание (гипотенуза) этого треугольника - диагональ квадрата основания пирамиды равно а√2.
Высота пирамиды - это высота равнобедренного 
прямоугольного треугольника, она равна половине его гипотенузы и равна H = а√2/2 = а/√2.

Так как гипотенуза основания пирамиды - диагональ квадрата, то сторона его равна а√2/√2 = а.
Это означает, что все рёбра пирамиды равны а, боковые грани - равносторонние треугольники.

Отсюда  площадь основания So = a², периметр основания
Р = 4а.
Находим апофему боковой грани: А = а*cos30 = a√3/2.

Площадь боковой поверхности пирамиды:
Sбок = (1/2)А*Р = (1/2)*(а√3/2)*4а = а²√3.

Объём пирамиды V=(1/3)So*H = (1/3)*a²*( а/√2) =
= a³/3√2.