бали) У коло вписано правильний шестикутник з стороною 4см. Знайти сторону квадрата, описаного навколо цього кола.

11.( ) Знайти площу круга, вписаного у сектор круга, радіуса 4см з центральним кутом, рівним 120°.

12. ( ) Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 4 см, а радіус кола, вписаного в нього, - 6см. Знайти сторону многокутника і кількість його сторін.

11) Задача нахождения стороны квадрата, описанного вокруг правильного шестиугольника с вписанной окружностью.

Для начала, для решения данной задачи, нам понадобятся несколько свойств правильного шестиугольника и вписанной окружности.

Свойства правильного шестиугольника:
1) Внутренние углы равны между собой и равны 120 градусам.
2) Радиус вписанной окружности равен половине стороны шестиугольника.
3) Отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной шестиугольника, является радиусом окружности.

Обозначим сторону квадрата как "а".

В правильном шестиугольнике, сторона равна радиусу вписанной окружности, то есть: a = 4 см.

Теперь посмотрим на рисунок. У нас есть правильный шестиугольник, вписанная окружность и описанный круг.

/\
/ \
/____\
\ /
\ /
\/

Так как отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной шестиугольника, является радиусом окружности, то такой отрезок равен половине стороны квадрата. То есть, ещё одно свойство:

4) Радиус описанной окружности шестиугольника равен половине стороны квадрата.

Тогда, радиус описанного круга равен "а/2".
Так как у нас дана сторона вписанного шестиугольника, то по свойству 2) радиус вписанной окружности равен "а/2", то есть: "а/2" = 4 см.
Отсюда находим "а":
а = 4 см * 2 = 8 см.

Ответ: сторона квадрата, описанного вокруг данного шестиугольника, равна 8 см.

12) Задача нахождения радиуса описанной окружности правильного многокутника и количества его сторон.

Для решения данной задачи, нам понадобятся свойства правильного многокутника и описанной окружности.

Свойства правильного многокутника:
1) Все углы и стороны равны между собой.

Обозначим радиус описанной окружности как "R" и радиус вписанной окружности как "r".

Так как радиус описанной окружности шестиугольника равен "4см", то по свойству 1) радиус такого шестиугольника равен "4 см".

Также, у нас дан радиус вписанной окружности многокутника, равный "6 см".

Находим количество сторон многокутника:
Для этого используем формулу, связывающую радиус описанной окружности и количество сторон многокутника:

n = 360° / центральный угол между любыми двумя сторонами многокутника,

где "n" - количество сторон многокутника.

Центральный угол равен углу между радиусами oписанной и вписанной окружностей.
Так как эти два радиуса и отрезок, соединяющий их фигуры, образуют трапецию, то дополнительными свойствами трапеции являются:

2) Сумма углов, смежных с одним основанием, равна 180°.
3) Диагонали трапеции перпендикулярны друг другу.

Таким образом, углы трапеции можно найти следующим образом:

360° - угол между радиусами oписанной и вписанной окружностей.

Для нахождения угла между этими радиусами используем свойство 3) и 2):

угол = (180° - угол между радиусами oписанной и вписанной окружностей)/2 = (180° - 2*угол между радиусами oписанной и вписанной окружностей)/2.

Тогда, количество сторон равно:
n = 360° / центральный угол между любыми двумя сторонами многокутника,
n = 360° / угол.

Теперь приступим к решению:

Радиус многокутника равен "4 см", а радиус вписанной окружности равен "6 см".

Для нахождения количества сторон:

угол = (180° - 2 * арккосинус((r/R))) / 2,

где "угол" - центральный угол между любыми двумя сторонами многокутника,
"r" - радиус вписанной окружности,
"R" - радиус описанной окружности.

Подставляем значения:

угол = (180° - 2 * арккосинус((6/4))) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 60°.

Теперь находим количество сторон многокутника:

n = 360° / угол,
n = 360° / 60° = 6.

Таким образом, количество сторон правильного многокутника равно 6 и его сторона равна "4 см".

Ответ: сторона многокутника равна 4 см, а количество его сторон - 6.