Я не шарю вообще в этом предмете... \_(ХоХ)_/
Кто хотябы хотел пишите НАДО СЕГОДНЯ СДАТЬ

∆АВС - равнобедренный, АВ = ВС. О - центр вписанной окружности, АС = 10 см. Г∆АDК + Р∆NМС + Р∆ЕВF = 42 см. Найти: АВ. Решения: По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: КР = КХ, XN = NL, LM = MY, YF = FR, RE = EZ, ZD = DP. KN = KX + XN, NM = NL + LM, MF = MY + YE, FE = FR + RE, DE = D + ZD, DK = DP + PK. Отсюда имеем: KN + FM + ED = NM + FE + ZК. АВ + ВС + AC = (AD + DE + EB) + (BF + FM + MC) + (AK + KN + NC) = = (BE + BF) + (CM + CN) + (AK + AD) + (DE + FM + КN) = = (BE + BF) + (CM + CN) + (AK + AD) + (ZK + FE + NM) = = (BE + BF + EF) + (CM + CN + MN) + (AK + AD + DK) = = Г∆АDК + Р∆NМС + Р∆ЕВF = 42 см. AC = 10 см, 2АВ + 10 = 42; 2AB = 42 - 10 = 32; AC = 16 см. ответ: 16 см.

Раз в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных её сторон равны.
BC = CM = LB = BN и BS = SA = AN = ND = DG, т.к трапеция равнобоковая и отрезки касательных, проведённые из одной точки равны.
Опустим два перпендикуляра к большему основанию AD. Обозначим их за BE т FC. Внутри трапеции образовался прямоугольник BEFC => BC = EF = 2m. Тогда AE + FD = 2n - 2m.
AB = CD
BE = CF
Угол AEB = углу DFC = 90°
Значит, треугольник равны по катеты и гипотенузе.
Из равенства треугольников => AE = FD. Значит, AE = FD = 1/2(AE + FD) = 1/2•(2n - 2m) = n - m.
По теореме Пифагора:
BE = √(m + n)² - (n - m)² = √m² + 2mn + n² - n² + 2mn - m² = √4mn = 2√mn.
Значит, высота трапеции равна 2√mn.
Площадь S трапеции равна:
S = 1/2(BC + AD)•EB
S = (m + n)•2√mn.