1. Дано: ∠AOD = 90°, ∠OAD = 70°, ∠OCB = 20° (рис. 4.246). Доказать: AD || ВС.
2. В треугольнике ABC ∠C = 90°, СС1 — высота, СС2 = 5 см, ВС = 10 см. Найти: ∠CAB.
3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к нему из вершины треугольника.
4. * С циркуля и линейки постройте угол, равный 120°.

1. В любой прямой призме проекция диагонали призмы на ее основание - диагональ основания. Следовательно, сечение, проходящее через диагональ призмы и её проекцию на основание - это прямоугольник.
2. Диагональное сечение призмы - прямоугольник ВВ1D1D.
АА1=AD=2√3. Значит высота призмы равна 2√3.
Диагональ призмы найдем по Пифагору: BD=√(AD²+AB²).
АВ=DC (противоположные стороны основания).
BD=√(12+25) = BD=√37.
Площадь сечения равна S=BD*BB1 =√37*2√3 =2√111.
3. Проведем через сторону ВС сечение ВСН, перпендикулярное ребру АА1.Тогда ВН и СН - высоты боковых граней АА1В1В и АА1С1С соответственно и зная площади этих граней, найдем эти высоты.
ВН=Saa1b1b/AA1 = 80/10=8см.
СН=Scaa1c1/AA1 = 40/10=4см.
По теореме косинусов найдем сторону ВС:
ВС=√64+16-2*32*(-1/2) = √112 = 4√7.
Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.
Периметр сечения у нас равен Рbch=4+8+4√7=(12+4√7)см.
Sбок=(12+4√7)*10= 40(3+√7)см².

Треугольник со сторонами 13,14 и 15 см вращается вокруг средней стороны.Найти поверхность тела. 
Тело вращения будет походить на детскую игрушку юла.  
Т.е. верхняя  и нижняя части - два конуса с  общим основанием АА₁ и радиусом, равным высоте АО  данного треугольника, проведенным к средней по величине стороне, равной 14 см.
 Чтобы найти эту высоту, нужно найти по формуле Герона площадь треугольника. Вычисления приводить не буду - треугольник с такими сторонами  встречается в задачах часто, его площадь  легко запоминается и равна 84 см² 
S=a*h:2, где а - сторона, h- высота к ней. 
2S=a*h 
 h=2S:а 
h=168:14=12 см - это радиус окружности - общего основания конусов.
Рассмотрим рисунок. 
Площадь тела равна сумме площадей боковых поверхностей конуса АВА₁ и конуса АСА₁ 
S =πrl 
S₁=π*12*13 
S₂=π*12*15 
S общ=12π(13+15)=336 π 
при π=3,14 
S=1055,04см² 
при π полном ( на калькуляторе) 
S=1055,575 см²