Стороны треугольника равны 13 см, 14 см, 15 см. Найти площадь описанного около этого треугольника круга.

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

                                   N = n·(n – 3)/2,. где n — число вершин многоугольника,

 

тогда                           20 = n·(n – 3)/2,

                                   40 = n·(n – 3)   ,

                                   n² - 3n -40 = 0 

                                   n₁ =-5 ( не подходит по смыслу задачи)

                                   n₂ = 8.

ответ: 8 сторон.                

                                        

 

Пусть угол при основании b, длина основания L, радиусы r и R;
2*b = 180 - a; b = 90 - a/2; b/2 = 45 - a/4;
L = 2*R*sin(a); теорема синусов.
r /(L/2) = tg(b/2); центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.  
r = R*sin(a)*tg(b/2);r/R = sin(a)tg(45 - a/4); это уже ответ :))) его можно упростить.
Если умножить и разделить на 2*соs(45 - a/4); то
r/R = sin(a)*(2*sin(45 - a/4)*cos(45 - a/4))/((2*(cos(45 - a/4))^2) - 1 + 1);
r/R = sin(a)*sin(90-a/2)/(cos(90 - a/2)+1) = sin(a)*cos(a/2)/(sin(a/2)+1);
r/R = 2*sin(a/2)*(cos(a/2))^2/(sin(a/2)+1) = 2*sin(a/2)*(1 - (sin(a/2))^2)/(sin(a/2)+1); 
r/R = 2*sin(a/2)*(1 - sin(a/2)); 
если a = 60°; a/2 = 30°; sin(a/2) = 1/2; r/R = 1/2; как и должно быть.