Решите контрольную работу 1. В ∆ABC , ∠A = 67°, ∠C =23°. Найдите угол ∠ВDС и ∠АBD.2. Найдите внутренние углы треугольника АВС, если внешний угол при вершине А равен 117°, а внешний угол при вершине В равен 128°.
3.В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC одна из его сторон больше другой на 8 см, а его периметр равен 56 см. Найдите стороны этого треугольника.
4.Дан остроугольный треугольник ABC, в котором проведены медиана BM и высота BH, причём ВМ =ВС, а AC = 14 см. Найдите AH.

a,b,c - стороны треугольника

по теореме Пифагора:

a^2+b^2=17^2=289

a+b=23   - возведем в квадрат:

(a+b)^2=23^2

a^2+2ab+b^2=529 -вычтем из этого это: a^2+b^2=17^2=289, получим:

2ab=240 откуда ab=120Дальше по теореме Виетта:

a+b=23

ab=120

Составляем квадратное уравнение

x^2-23x+120=0

Дискриминант равен (-23)^2-4*120=49 больше нуля из этого следует что существует 2 действит. разл. корня.

x1,2 равно   (23+-корень из 49)/2

x1=15 это и будет a

x2=8 это и будет b

Дальше картинка

на рисунке равные отрезки обозначены, они равны по свойству касательных проведенных из одной точки к окружности

x+z=17, x=17-z

x+y=8

y+z=15

Решаем систему:

17-z+y=8

z-y=9;   z=y+9 подставлю в третье

2y+9=15

y=3

z=12

x=5

Треугольник АВС, В - вершина, НР - средняя линия параллельна АВ = 13,

ВН - медиана, высота на АС =24, МР - средняя линия параллельна АС

точкаО - пересечение МР и ВН, треугольник МВР равнобедренный , угол ВМР=углуА как внешние разносторонние = углуС=углуМРС, МО=ОР, треугольник НОР прямоугольный, ВН перпендикулярно АС, а АС параллельна МР, значит ВН перпендикулярна МР

Средняя линия треугольника делит высоту , медиану, биссектрису наполовину, которая проведена к параллельной стороне, ОН=ОВ=24/2=12

катет ОР= корень (НР в квадрате - ОН в кадрате) = корень (169-144) =5

МР = 5 х 2=10