дана трапеция ABCD
EM - средняя линия
пересекает диагонали в точках К и N
AC и BD - диагонали
из свойств средней линии трапеции: EM||BC||AD
CM=MD и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку N.
AE=EM и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку K.
Следовательно: AK=CK и DN=BN
можно также доказать через треугольники ABC и DCB - средняя линия трапеции будет средней линией этих треугольников. Средняя линия треугольника делит стороны пополам, значит диагонали пересекаются пополам.
Задача 2 рисунок 1
Дано: ABC - прямоугольный равнобедренный треуг.
AD = 8 см - медиана
Найти: CB = ?
1) ABC - прямоугольный равнобедренный треуг.
угол А = 90 гр. => угол В + угол С = 90 гр.,
угол В = угол С (т.к. АВС равнобедренный) => угол В = угол С = 90/2 = 45 гр.
AD - высота, медиана и биссектриса (по свойству равнобедренного треуг.) => BD = CD
2) Рассмотрим треуг. ABD
угол D = 90 гр.
tg 45 = AD/BD => BD = AD/tg 45
BD = 8 см/1 = 8 см
3) CB = BD + CD = 8 + 8 = 16 см
ОТВЕТ: CB = 16 см
Задача 3 Рисунок 2
Дано: NMK - прямоугольный треуг.
NS = 10 см - медиана
угол M = 30 гр.
Найти: NK = ?
1) угол M + угол K = 90 гр (по свойству прямоугольного треуг.) =>
=> угол K = 90 - 30 = 60 гр
2) NS - медиана => MS = SK
3) NK = 1/2*MK (т.к. угол против 30 гр. равен половине гипотенузы) =>
=> NK = MS = SK
3) Рассмотрим треуг. NSK - равнобедренный треуг. (NK = SK)
угол K = 60 гр => угол S = угол N (т.к. углы при основании равны)
угол S = угол N = (180 - 60)/2 = 60
треуг. NSK - равносторонний => NK = NS = 10 см
ОТВЕТ: NK = 10 см
