Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если один из катеров равен 8см а гипотенуза равна 10см

Немного переиначу - пусть D лежит на AB, DE II AC, CD и AE пересекаются в точке N. Я буду доказывать, что BN - медиана ABC. Нужно обозначить еще две точки - M - точка пересечения продолжения BN и AC, K - точка пересечения BN и DE.
Треугольники DKN и MNC подобны, то есть MN/NK = CM/DK; точно также из подобия треугольников EKN и ANM получается MN/NK = AM/KE; если обозначить
MN/NK = x; то CM = DK*x; AM = KE*x; 
то есть CM/AM = DK/KE; (1)
Далее, поскольку DE II AB, то треугольники DKB и AMB подобны, и DK/AM = BK/BM; точно так же из подобия треугольников BKE и BMC следует KE/CM = BK/BM; если обозначить BK/BM = y; то DK = AM*y; KE = CM*y; 
то есть CM/AM = KE/DK; (2)
Если перемножить равенства (1) и (2), получится (CM/AM)^2 = 1; то есть CM = AM; Вот так решается

1)четырехугольник можно вписать в окружность только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180.

тогда получается, что угол В=180-угол М=180-80=100

а угол А=180-уголС=180-120=60

2)треугольники, опирающиеся на диаметр окружности являются прямоугольными, тогда угол Р и угол Е равны 90.

дуга КЕН равна 180 градусам, тогда дуга КЕ равна 180-140=40

теперь можем найти дугу РКЕ=80+40=120 и угол Н, он равен 1/2 дуги РКЕ=1/2*120=60

также можем найти угол РКН:

найдем дугу РН=180-80=100

а теперь угол РКН=1/2*100=50

Следовательно, угол РКЕ=50+70=120