Координаты точек А и В найдём из решения системы, первое уравнение которой - уравнение окружности с радиусом 4, а второе - уравнение касательной к окружности радиусом 1.
Поместим заданные окружности общей точкой касания в начало прямоугольной системы координат. Тогда центры окружностей будут на оси абсцисс. Пусть их координаты: (-1; 0) и (-4; 0). Так как прямая АВ образует с общей касательной к окружностям угол в 60°, то к оси Ох угол будет -30°. Биссектриса этого угла пересечёт ось Оу в точке -(1/tg 30°) = -√3. Можно определить параметры касательной в уравнении у = кх + в: Тангенс угла наклона к оси Ох равен -1/√3, в = -√3. Уравнение АВ: у = (-1/√3)х - √3. Уравнение окружности R = 4: (x + 4)² + y² = 16. Используем подстановку: (x + 4)² + ((-1/√3)x - √3)² = 16. x² + 8x + 16 + (x²/3) + 2x + 3 - 16 = 0. 4x² + 30x + 9 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=30^2-4*4*9=900-4*4*9=900-16*9=900-144=756;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√756-30)/(2*4)=(6√21-30)/8=(3√21-15)/4 ≈ -0.313068 (это точка В);x₂=(-√756-30)/(2*4)=(-6√21-30)/8=(-3√21-15)/4 = ≈ -7.186932 (точка А). Определяем координаты точек по оси Оу: у₁ = (-1/√3)((3√21-15)/4) - √3 = (√3 - 3√7)4 ≈ -1,5513. у₂ = (-1/√3)((-3√21-15)/4) - √3 = (√3 +3√7)4 ≈ 2,417326. По координатам находим длину хорды АВ: Точка А Точка В Ха Уа Хв Ув -7,186932 2,417326 -0,313068 -1,551301 АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 7,937253933.
Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.
Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а. Доказать: а - касательная к окружности. Доказательство: Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности. Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
