Сторона паралелограма 4см, а висота, що до неї проведена 5√3 см. Знайдіть висоту паралелограма, що проведена до іншої сторони, довжиною 10√3 см

Равноудаленная от катетов точка на гипотенузе делит её на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите катеты треугольника. 
----
Обозначим треугольник АВС, С=90°, точку на гипотенузе К.  Так как точка равноудалена от катетов, расстояние от неё до них равно длине равных отрезков, проведенных к катетам перпендикуляров: КМ до ВС, КН до АС.

Все углы  четырехугольника МКНС, вписанного в прямоугольный треугольник АВС –  прямые, две стороны равны по условию, две другие им параллельны и противолежат,  поэтому он – квадрат. 

Его диагональ СМ для прямого угла С является биссектрисой. 

Биссектриса  угла треугольника делит противолежащую этому угла сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. ⇒

ВС:АС=ВК:АК. 

Обозначим АС=х, ВС=у. ⇒

у:х=30:40 ⇒ у:х=3:4 ⇒ 

у=3х/4

АВ=30+40=7•10

По т.Пифагора 

АВ²=АС²+ВС²=х²+у²  Заменим у на его значение, выраженное через х: 

7²•10²=х²+ 9х²/16

7²•10²=25x²/16

25x²=49•100•16

x²=49•4•16 ⇒x=7•2•4=56 см – длина АС

 ВС=3•56/4=42 см

 Сторону основания этой пирамиды найдем из ее объема. 
Объем пирамиды находят по формуле  
V=Sh:3 
Площадь основания данной пирамиды - площадь правильного  шестиугольника- состоит из суммы площадей шести правильных  треугольников.  
Пусть сторона каждого из них равна а. 
Площадь правильного шестиугольника  
S = pr = 3a²√3/2,  где p − полупериметр шестиугольникa, a r- радиус вписанной в  него окружности, или, иначе - апофема правильного  шестиугольника (т.е. высота  одного из правильных  треугольников, составляющих этот шестиугольник). 
Так как боковая грань  и основание пирамиды образуют угол  45°, высота пирамиды равна апофеме шестиугольника в  основании пирамиды.  
Напомню, что апофемой правильного шестиугольника называют  перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне.  (В задачах редко встречается, но такое название есть). 
Высота пирамиды и апофема основаниия здесь - катеты  равнобедренного прямоугольного треугольника 
m = h= a√3/2  
Следовательно,   
V={3a²√3):2}·{a√3):2}:3=9a³:12=3a³:4 
162=3a³:4 
 а³=162·4:3=216 
а= ∛216=6