Если окружности, радиусы которых равны 5 см и 3 см, а центры расположены в точках О_1 и О_2, касаются внешним образом в точке А, то О_1 О_2 равно… *

Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

1. Прежде заметим, что AB = CD = 3√2; AD = BC = 5; (рисунок) ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 180° - 45° = 135° (Свойства параллелограмма)

а) AD · AB = BC · AB = |BC| · |AB| · cos ∠A = 5 · 3√2 · cos 45° = 15√2 · √2 / 2 = 15

б) BA · BC = |BA| · |BC| · cos ∠B =  3√2 · 5 · cos 135° = -15√2 · √2/2 = -15

в) AD · BH = 0, так как AD ⊥ BH

2.  a {-4; 5}, b {-5; 4} - вектора

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = -4·(-5) + 5·4 = 20 + 20 = 40

3.  a {-12; 5}, b {3; 4} - вектора

cos ∠(a, b) = a · b / (|a| · |b|)  

a · b = -12·3 + 5·4 = -36 + 20 = -16

|a|² = (-12)² + 5² = 144 + 25 = 169 ⇒ |a| = √169 = 13

|b|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⇒ |b| = √25 = 5

cos ∠(a, b) = -16 / (13·5) = -16/65

4.  m {3; y}, n {2; -6} - ненулевые вектора

m ⊥ n ⇔ m·n = 0 (m,n ≠ 0)

Вроде так

m·n = 3·2 + y·(-6) = 6 - 6y = 0

-6y = -6

y = 1

5. Для того, чтобы "выйти" на cos ∠B нам понадобятся вектора BA и BC. Найдем их координаты:

BA {3 - 0; 9 - 6} = {3; 3}

BC {4 - 0; 2 - 6} = {4; -4}

BA · BC = 3 · 4 + 3 · (-4) = 12 - 12 = 0.

Так как BA, BC ≠ 0 ⇒ BA ⊥ BC ⇒ cos ∠B = 0

Объяснение: