1. Пусть a,H - основание и высота основного треугольника.
m,h - основание и высота отсеченного треугольника.
Так как m - средняя линия, то:
m = a/2, h = H/2
Значит площадь отсеченного треугольника - в 4 раза меньше исходного.
ответ: s/S = 1/4.
2. ABCD - равнобедренная трапеция (около нее можно описать окружность)
т.О - середина AD (большего основания). AD = 2R - диаметр окр-ти. ВС = R - радиус окр-ти.
Тогда радиусы ОВ и ОС разбивают трапецию на три правильных треугольника со стороной R.
Значит углы трапеции: 60; 60; 120; 120 гр.
3. Рисуем тр. АВС так, что Угол В - наибольший ( тупой). Проведем биссектрису ВК и высоту ВМ из вершины этого угла.
Пусть Угол А - наименьший, А = х.
Тогда В = 4х, С = 180 - 5х.
В треугольнике ВКМ угол ВКМ = 90 - 12 = 78 гр. Он является внешним к тр-ку АВК. Значит он равен сумме внутренних углов А и В/2.
х + 2х = 78
3х = 78
х = 26, 4х = 104, 180 - 5х = 50
ответ: 26, 50, 104 гр.
4. Рисуем две касающиеся окружности: левая (меньшая) О1 и правая(большая) О2. Проводим прямую через точки О1 и О2. Крайняя левая точка пересечения с окр О1 пометим как А. Проводим из точки А касательную АВ к окр. О2. В - точка касания.
Рассмотрим прям. тр-ик АВО2. В нем:
АО2 = 2R1 + R2 = 10 + R2, (гипотенуза).
О2В = R2 - катет против угла в 30 гр.
Значит 2R2 = 10 + R2
R2 = 10, 2R2 = 20
ответ: 20
Рисунок с расставленными обозначениями отправил по почте (вложения так и не работают).
Сначала нужно решить сам тр-к АВС чтобы найти r- радиус вписанной в АВС окр-ти. (О - т. пересечения биссектрис).
sinB = (4кор3)/7, sinA = (5кор3)/14, угол С = 60 град.
АВ = 7, ВС = 5. Подробности опускаю. Все проделывается элементарно по т. синусов. АС = 8 - по условию.
S(ABC) = (1/2)АС*ВС*sin60 = 10кор3.
S(АВС) = pr = (8+5+7)r/2 = 10r.
Значит r = кор3.
Угол С/2 = 30 град.
Из тр.OLC: LC = r/tg30 = 3. OC = 2r = 2кор3. AL = 8-3 = 5.
Тр. OPD подобен тр. OcEP. Угол PDO = EPOc = A + (C/2) = A + 30
OD = r/sin(A+30) = r/[sinA*cos30 + cosA*sin30] = (14кор3)/13,
То есть sin(A+30) = 13/14
Тогда OcD= 14(Rc)/13. (Rc) - радиус окр-ти с центром Oc.
Теперь гипотенуза большого тр-ка СFOc:
СOc = OC + OD + OcD = 2кор3 + (14кор3)/13 + 14(Rc)/13.
С другой стороны:
COc = (Rc)/sin30 = 2(Rc)
Приравняв, найдем (Rc):
(Rc) = (10кор3)/3
Тогда расстояние ОсО легко вычислить из прямоуг. трапеции OcOLF, проведя высоту из т.О на основание OcF:
OcO = ((Rc) - r )/sin30 = (14кор3)/3
Заметим, что FC = (Rc) / tg30 = 10Теперь аналогичные манипуляции проделаем с другой окружностью - Оа.
Там пригодится найти sin(A/2) и cos(A/2)(через косинус двойного угла А):
sin^2(A/2) = (1-cosA)/2. Sin(A/2) = (кор3)/кор28
cos(A/2) = 5/кор28
sinHQOa = sin(60 + (A/2)) = (3кор3)/кор28
Теперь распишем составляющие гипотенузы АОа:
АОа = АО + ОМ + МОа = 5/(cos(A/2)) + r/(sin(A/2 +60)) + (Ra)/(sin(A/2 +60)).
С другой стороны:
АОа = (Ra) / sin(A/2) = ((Ra)кор28)/кор3.
Приравняв и решив уравнение, получим:
(Ra) = 2кор3
Заметим, что АК = (Ra)/tg(A/2) = 10
Значит:
FK = 2+8+2 = 12.
Завершающий шаг:
Из прям. трапеции FKOaOc найдем ОаОс:
ОaОс^2 = 144 + ((Rc)-(Ra))^2 = 144 + 16/3
ОаОс = кор(448/3) = (8кор21)/3
ответ: ОаОс = (8кор21)/3; ОсО = (14кор3)/3.
