с решением Серединные перпендикуляры к сторонам остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. На стороне BC основанием серединного перпендикуляра является точка K. Известно что OK-9, KC-12. Найдите AO.

Эту задачу можнорешить двумя .

1) Более лёгкий - геометрический.

Используется свойство: расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию от любой точки прямой L1  до плоскости P, параллельной прямой L1 и в которой находится прямая L2.

Проведём плоскость SBD, параллельную отрезку АЕ. След её сечения основания- это прямая BD.

Проведём секущую перпендикулярную плоскость FSC.

Точки К и Р это середины проекций боковых рёбер на основание.

В сечении имеем 2 равнобедренных треугольника FSC и KSP.

Высота их равна высоте пирамиды и равна √3 как высота равностороннего треугольника FSC со стороной 2.

Длина перпендикуляра КМ и есть искомое расстояние L1_L2.

Площадь KSP = (1/2)*1*√3 = √3/2.

Тогда КМ = 2S/(PS). Находим PS = √((√3)² + (1/2)²) = √13/2.

ответ: КМ = 2*(√3/2)/(√13/2) = 2√3/√13 = 2√39/13.

2) Векторный или координатный.

Пусть вершина А на оси Ох в точке х = (√3/2), сторона ВС по оси Оу.

Наименование вершин по часовой стрелке.

Решение дано во вложениях как копии расчёта в программе Excel.

ответ дан числом в десятичной системе, но его значение соответсвует найденному в варианте 1).

Пусть ad = a1d1 — равные биссектрисы, ∠a = ∠a1, ac = a1c1 — равные стороны. в δаdс = δa1d1c1: ∠dac = ∠d1a1c1 (т.к. ∠dac половина угла ∠bac ∠dac = ∠bac : 2 = ∠b1a1c1 : 2 = ∠d1a1c1). ad = a1d1, ас = а1с1. (по условию: ad = a1d1 — равные биссектрисы, aс = a1c1 — равные прилежащие стороны). таким образом, δadc = δа1d1c1 по 1-му признаку равенства треугольников, откуда ∠с = ∠с1 как лежащие против равных сторон в равных треугольниках) в δabcи δа1в1с1: ас = а1с1, ∠а = ∠а1 (по условию) ∠с = ∠с1. таким образом, δabc = δа1в1с1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.