плоскость параллельна диагонали BD =>
через вершину А можно провести прямую B1D1 || BD
из точек B и D опустим перпендикуляры на плоскость, они (перпендикуляры) будут равны и равны расстоянию от BD до плоскости BB1 = DD1 = 5
по условию AB1 = 8, AD1 = 7 - проекции сторон
найдем стороны параллелограмма из получившихся прямоугольных треугольников:
AD^2 = AD1^2 + D1D^2 = 49+25 = 74
AB^2 = AB1^2 + B1B^2 = 64+25 = 89
в параллелограмме известно соотношение:
сумма квадратов диагоналей = 2*(AD^2 + AB^2) = 2*(74+89) = 2*163 = 326
BD^2 + AC^2 = 326
AC^2 = 326 - 81 = 245
AC = корень(245)
Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.
Вводим ортонормированный базис 
в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты 
и 
, а гипотенуза 
— компоненты 
.
Половина вектора 
, конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты 
. Следовательно, медиана 
будет иметь компоненты 
.
Находим длину (норму) вектора 
, которая и будет представлять длину медианы:
.
А длина (норма) вектора гипотенузы 
:
.
Следовательно, длина медианы AE в точности равна половине длины гипотенузы BC.
Утверждение доказано.
