Если диагонали трапеции являются биссектрисами, то точка пересечения диагоналей - центр вписанной окружности. А если в 4-ник можно вписать окружность, то у него суммы длин противоположных сторон равны.
АВСД - равноб. трапеция. АВ = СД = с. Основание ВС = b = 3. Основание АД = а. Тогда имеем систему:
2с = а + 3,
2с + а + 3 = 42, а = 18, с = 10,5
Для нахождения площади необходимо знать высоту.
Проведем высоты ВК и СМ (обозначим h). Тогда из равенства тр-ов АВК и СМД получим: АК = МД = (a-b)/2 = 7,5
Из пр.тр. АВК найдем высоту по теореме Пифагора:
h = кор( 10,5^2 - 7,5^2) = кор54 = 3кор6
Тогда площадь трапеции:
S = (a+b)*h /2 = (63кор6)/2 см^2.
АВСД - прямоугольник. О - пересечение диагоналей ОК срединный перпендикуляр к диагонали ВД. Тогда по условию: КС = СД.
То есть тр. ДКС - прям, равноб. Значит его острые углы - по 45 гр.
СДК = 45 гр = ДКС
Угол ДКС - внешний для равнобедр. тр-ка ВКД (КД = ВК - по св-ву срединного перпенд)Значит: 2*КДВ = 45 гр.
Или угол КДВ = 22,5 гр.
Тогда угол СДО в тр. СОД равен:
СДО = 45 + 22,5 = 67,5 гр и равен ОСД (т.к тр.СОД - равнобедр)
В итоге находим искомый угол СОД = 180 - (67,5 + 67,5) = 45 гр.
ответ: 45 гр(острый) или 135 гр (тупой)
