Объяснение:
1) Рассмотрим ΔADC и ΔСВЕ
АС = СВ и CD = СЕ по условию,
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD
∠BCE = ∠DCE + ∠ BCD
Т.к. оба Δ-ка равносторонние, а равностороннем все углы равны, то
∠ВСА = ∠АВС = ∠ВАС = 108°/3 =60° ( ΔАВС)
∠DCE = ∠CED = CDE = 60° (ΔCDE). Тогда
∠ACD = 60° + ∠BCD и
∠BCE = 60° + ∠ BCD, т.е.
∠ACD = ∠BCE
ΔADC = ΔСВЕ по 2-м сторонам и углу между ними, следовательно,
∠DAC = ∠CBE или ∠ОАС = СВО
2) Рассмотрим ΔАВО.
Сумма углов Δ-ка = 180°:
∠ВАО + ∠АВО + ∠АОВ = 180° → ∠АОВ = 180°- ∠ВАО - ∠АВО
∠ВАО = ∠ВАС - ∠ОАС = 60° - ∠ОАС
∠АВО = ∠АВС + ∠СВО = 60° + ∠СВО
∠АОВ = 180°- (60° - ∠ОАС) - (60° + ∠СВО) =
= 180° - 60° - 60° + ∠ОАС- ∠СВО = 60° +∠ОАС- ∠СВО
Но ∠ОАС =∠СВО, поэтому
∠АОВ = 60°
Сторона вписанного правильного многоугольника образует с радиусами описанной около него окружности равносторонний треугольник.
В нашем случае это треугольник с боковыми гранями, одинаковыми 43 и основанием, одинаковым 12см. По аксиоме косинусов найдем угол при верхушке этого треугольника:
Cos = (b+c-a)/2bc. ( - меж b и c). В нашем случае:
Cos=(2*(43)-12)/(2*43)=-48/(2*48)=-(1/2).
То есть центральный угол тупой и равен 120.
Как следует, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360/120=3. Это ответ.
P.S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R=(3/3)*a. В нашем случае
R=(3/3)*12=43, что подходит условию задачки.
