Итоговая контрольная работа по геометрии

Вариант 1

1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100°. Найти: ∠D. Доказать: ΔАВО = ΔCDO.

2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС.

3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD.

4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см. а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

1. Для решения задачи нам необходимо использовать свойства треугольников и углов. Исходя из данных, у нас имеется равенство сторон ВО и DO, а также информация о значениях углов ABC, BCD и AOC. Нам нужно найти значение угла D и доказать, что треугольники АВО и CDO равны.

Давайте начнем с нахождения значения угла D. Запишем уравнение суммы углов треугольника ABC:
∠ABC + ∠BCD + ∠CAB = 180°

Подставляем известные значения:
45° + 55° + ∠CAB = 180°

Складываем значения углов и решаем уравнение:
100° + ∠CAB = 180°
∠CAB = 180° - 100°
∠CAB = 80°

Теперь у нас есть значение угла CAB, а также известно, что ВО = DO. Поэтому треугольники АВО и CDO могут быть равны.

Доказательство равенства треугольников АВО и CDO можно провести по двум очевидным равенствам:
- Сторона ВО равна стороне DO по условию.
- Угол CAB равен углу CDA, так как они смежные (лежат на общем ребре) и оба равны 80°.

Теперь мы доказали, что треугольники АВО и CDO равны.

2. У нас имеется равнобедренный треугольник АВС с углом В, равным 42°. Нам нужно найти значения двух других углов треугольника АВС.

Давайте сначала найдем значение угла С. Так как треугольник равнобедренный, углы В и С имеют одинаковую величину:
∠В = ∠С
42° = ∠С

Теперь нам нужно найти значение третьего угла А. Для этого мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°:
∠А + ∠В + ∠С = 180°

Подставляем значения, которые мы уже знаем:
∠А + 42° + 42° = 180°

Сумма углов:
∠А + 84° = 180°

Решаем уравнение:
∠А = 180° - 84°
∠А = 96°

Таким образом, значения двух других углов треугольника АВС равны 42° и 96°.

3. Мы имеем треугольники АВС и ADC, которые являются равносторонними, и точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Нам нужно доказать, что АВ || CD.

Доказательство проведем по следующим фактам:
- Равносторонний треугольник имеет все стороны одинаковой длины.
- Если треугольники равносторонние, то все их углы равны.
- Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС.

Поэтому, если треугольники АВС и ADC равны, то их боковые стороны должны быть параллельны. То есть АВ || CD.

4. В данной задаче нам необходимо найти длину отрезка ЕР и длину медианы PD.

а) Для нахождения длины отрезка ЕР нам необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и известные значения углов. У нас имеется информация о значениях ∠EPM и ∠MEP, а также длина отрезка ME. Найдем значение ∠EMP, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°:
∠EPM + ∠MEP + ∠EMP = 180°

Заменяем известные значения:
90° + 30° + ∠EMP = 180°

Складываем значения углов:
120° + ∠EMP = 180°

Решаем уравнение:
∠EMP = 180° - 120°
∠EMP = 60°

Теперь у нас есть значение ∠EMP, а также известна длина отрезка ME. Мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника для нахождения длины отрезка ЕР. Длина отрезка ЕР будет равна проекции отрезка ME на отрезок РМ.

Определяем проекцию ME на РМ:
ЕР = ME * sin(∠EMP)
ЕР = 10 см * sin(60°)

Мы знаем, что sin(60°) = √3 / 2, поэтому:
ЕР = 10 см * (√3 / 2)
ЕР = 5√3 см

Таким образом, длина отрезка ЕР заключена между 5√3 см и 0 см.

б) Чтобы найти длину медианы PD, мы должны использовать свойство медианы прямоугольного треугольника. Медиана PD длиннее половины гипотенузы (отрезка РМ) и равна половине гипотенузы (отрезка РМ).

Поскольку мы уже знаем длину отрезка РМ (10 см), длина медианы PD будет равна половине этой длины:
Длина медианы PD = 10 см / 2 = 5 см

Таким образом, длина медианы PD равна 5 см.