Точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС (∠АСВ = 90°) и расположена на расстоянии 4√2 см от его плоскости. Проекция точки Р на плоскость ΔАВС принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой РС и плоскостью (АВС), если АС = 12 см, ВС = 16 см.
Решение
1) Тк точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС, то проекцией точки Р на плоскость ΔАВС является центр описанной окружности , те середина гипотенузы (точка Е).
Углом между прямой РС и плоскостью (АВС) есть угол между прямой РС и ее проекцией ЕС , те ∠РСЕ.
2)ΔАВС, по т Пифагора АВ=√(АС²+ВС²) , АВ=√(12²+16²)=20 (см)
АЕ=ВЕ=20:2=10 (см). Точка Е-центр описанной окружности R=АЕ=ВЕ=СЕ=10 см.
3)ΔРЕС-прямоугольный (∠РЕС=90°) , tg∠PCE=PE/CE , tg∠PCE=4√2/10=2√2/5, ∠PCE=arctg(2√2/5).
1) Теорема Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
BC²=AB²+AC²
AB²=BC²-AC²
Площадь прямоугольного треугольника равен половине произведения катетов.
AB=2√6 см. S=5√6 см²
2.
Площадь квадрата равна квадрату стороны.
S=25 см²
3.
У ромба все стороны равны.
Точка пересечения диагоналей ромба делит их пополам. Если взять по половинам диагоналей и сторону ромба, образуется прямоугольный треугольник, где сторона — гипотенуза, полудиагонали — катеты. Полудиагонали d/2=8/2=4 см и D/2=12/2=6 см.
По теореме Пифагора
AB²=(d/2)²+(D/2)²
Сторона ромба 2√13 см
Площадь ромба равна половине произведения Диагоналей
Площадь 48 см²
