Дано вектори а(5;5) і б(4;0): знайти кут між векторами а і б.
Дано векторы а(5;5) и б(4;0); найти угол между веторами а и б.

№1. Дано: прямые АВ, CD, КМ. АВ пересекает КМ в точке О, CD пересекает КМ в точке Е. Угол КОА равен 30 градусам, угол ОЕD равен 120 градусам. Докажите, что АВ параллельна  CD.
Доказательство: угол ВОЕ равен углу КОА как вертикальный, равен 30 градусам. Угол ВОЕ + угол ОЕD = 30+120 равно 180, они односторонние, поэтому АВ параллельно CD.

№2. Дано: Прямые АВ, СD, КМ. АВ пересекает КМ в точке О, CD пересекает КМ в точке Е.  Угол ОЕD равен 120 градусов, угол КОВ равен 120 градусов. Докажите, что АВ параллельна CD.
Доказательство: Угол КОВ равен угол АОЕ как вертикальный. Угол АОЕ равен 120 градусов, угол ОЕD равен 120 градусов. Они накрест лежащие при пересечении двух прямых секущей, они равны, значит, АВ параллельна CD.

№3. Дано: Прямые АВ, СD, КМ. АВ пересекает КМ в точке О, CD пересекает КМ в точке Е.  Угол КОВ=120 градусов, угол МЕD равен 60 градусов. Докажите, что АВ параллельна CD.
Доказательство: Угол ОЕD = 180 - DEM = 180 - 60 = 120 градусов. Углы КОВ и ОЕD по 120 градусов и они соответственные, значит, АВ параллельна CD.

1) CD = 13 см
DE = r = 5 см

DG = DE = DF = 5 см – как радиусы вписанной окружности

Рассмотрим ∆ CDF (угол CFD = 90°):
По теореме Пифагора:
CD² = DF² + CF²
CF² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
CF = 12 см

2) Рассмотрим ∆ CBE (угол СЕВ = 90°):
По теореме касательных к окружности, проведённых из одной точки
BD – биссектриса угла ABC

По свойству биссектрисы:
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам →

CD/ DE = CB/ BE = 13 / 5

Пусть FB = BE = x , как отрезки кательных к окружности, проведённых из одной точки →

CB / BE = 13 / 5

( 12 + x ) / x = 13 / 5

13x = 5 × ( 12 + x )
13x = 60 + 5x
13x – 5x = 60
8x = 60
x = 60/8 = 7,5 см

Значит, FB = BE = 7,5 см

По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки →

CG = CF = 12 см
GA = AE = 7,5 см

P abc = AC + CB + AB = 12 + 7,5 + 12 + 7,5 + 7,5 + 7,5 = 24 + 30 = 54 см

ОТВЕТ: P abc = 54 см.