Одна сторона прямоугольника равна х, х>0, вторая у, у>0. Площадь прямоугольника S = xy = 2 откуда y = 2/x. Рассмотрим функцию:
P(x)=2х+2у=2х+2*2/х=2х+4/х
Найдем производную этой функции, приравняем к нулю, получим критические точки
2-(4/х²)=0, откуда 4-2х²=0
х²≠0, х=±√2
Поскольку отрицательный корень x = -√2 не подходит по смыслу задачи, то берем критическую точку х=√2, разбиваем ею числовую ось и проверяем, какие знаки принимает производная на интервалах (0;√2);(√2;+∞)
(0)___-(√2)+
Производная функции при переходе через точку x = √2 меняет знак с минуса на плюс, поэтому х=√2 - точка минимума функции.
у=2/√2=√2
А наименьший периметр прямоугольника будет равен 4√2, если обе стороны равны √2, т.е. когда прямоугольник превратится в квадрат.
ответ: 25π (дм); 156,25π (дм²).
Объяснение: Для начала обратим внимание, что нам неизвестна гипотенуза.
Теорема Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
⇒ c²=a²+b² ⇒ c=√(a²+b²)=√(15²+20²)=√(225+400)=√625=25 (дм).
НО можно было не вычислять поскольку есть такое понятие пифагорова тройка, которая содержит пифагоровые числа, удовлетворяющие соотношению Пифагора.
Поэтому мы могли сразу написать по табличке, что:
| a | b | c |
| 15 | 20 | 25 |
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Т.к. AC - диаметр окружности с центром в точке О ⇒ R=25/2=12,5 (см).
Сразу найдём теперь и длину окружности, и площадь круга.
C=2π12,5=25π (дм); S=π12,5²=156,25π (дм²).
