Даны вершины треугольника: А(-4;1), В(4;2), С(-2;-2).
Задачу можно решить двумя
1 - геометрическим по теореме косинусов, найдя длины сторон,
2 - векторным.
Вектор АВ = (4-(-4); 2-1) = (8; 1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.
Вектор АС = (-2-(-4); -2-1) = (2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
cos A = (8*2 + 1*(-3))/(√65*√13) = 13/(13√5) = 1/√5 = √5/5.
Вектор BA = -AB = (-8; -1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.
Вектор BC = (-2-4); -2-2) = (-6; -4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.
cos B = (-8*-6 + -1*(-4))/(√65*√52) = 52/(26√5) = 2/√5 = 2√5/5.
Вектор CА = -AC = (-2; 3). Модуль (длина) равен √(4 + 9) = √13.
Вектор CB = -BC = (6; 4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.
cos C = (-2*6 + 3*4)/(√13*√52) = 0/(2*13) = 0.
Угол С прямой. Это также видно по сумме квадратов сторон: 13+52 = 65.
ВС перпендикулярен плоскости, следовательно, перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание С. ⇒ ∆ ВСА - прямоугольный с прямым углом С.
По т.о 3-х перпендикулярах: если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, значит, этой прямой перпендикулярна и ее проекция.
ВА - перпендикулярен ребру МК двугранного угла, следовательно его проекция СА перпендикулярна прямой МК.
Величиной двугранного угла является градусная мера его линейного угла.
Линейный угол двугранного угла – угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.
АВ и АС перпендикулярны МК. Следовательно, угол ВАC -искомый.
ctg BAC =2:2√3=1/√3 - это котангенс 60°.
Угол ВАС=60°
