1) В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне (центральный угол опирающийся на сторону равен 360/6 = 60 гр). Высота правильного треугольника (она же радиус вписанной окр-ти):
h = Rкор3 /2 = r = кор3
Отсюда R = 2 = a.
S(A1A2A3) = (1/2) A1A2*A2A3*sin120 = (1/2)R^2 *(кор3)/2 = кор3
Тогда S*кор3 = 3
ответ: 3.
2) В треугольнике А1ОА4 угол А1ОА4 = 3*(360/8) = 3*45 = 135 гр.
S(A1OA4) = (1/2) R^2 *sin135 = R^2*кор2 /4 = 16кор2
Отсюда R^2 = 64, R = 8
Тр. А2ОА4 - прямоугольный, так как угол А2ОА4 = 2*(360/8) = 90 гр.
Катеты равны R=8.
S(A2OA4) = R^2 /2 = 64/2 = 32.
ответ: 32.
Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, МН - апофема ( высота боковой грани).
Апофема делит сторону основания пополам. ВН=СН.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам.
∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный.
МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.
ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9
BH=OH=9
MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34
№2
Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане).
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник).
Тогда высота МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см
АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см
№3.
В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см.
Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней.
S осн=АС•BC:2=18 см²
Грани АМС=ВМС по равенству катетов.
S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²
S AMB=MH•AB:2
AB=AC:sin45°=6√2
CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2
Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82
S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41
S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²
№4
S полн=Sбок+Sосн
Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.
МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см
∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см
Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²
Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²
Sполн=144+36√3=36(4+√3) см²
№5
Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.
Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1.
Угол А1ВА=60° (дано)
А1А=АВ•tg60°=5√3
Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²
Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²
Sполн=(30+80√3) см²
