ДАЙ ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с
плоскостью боковой грани угол 30°. Найти:
а) сторону основания
призмы.
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания
в) площадь боковой поверхности призмы.
г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
В основаниях правильной призмы - правильные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Следовательно, ее боковые ребра перпендикулярны основанию.
Треугольник ВD1А - прямоугольный (в основании призмы - квадрат, и ребра перпендикулярны основанию.
а) Сторона основания противолежит углу 30°, поэтому АВ=а*sin 30=a/2
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - это угол между диагональю ВD1 призмы и диагональю ВD основания.
ВD как диагональ квадрата равна а√2):2
cos D1BD=BD:BD1=( а√2):2):a=(√2):2),
и это косинус 45 градусов.
в) площадь боковой поверхности призмы находят произведением высоты на периметр основания:
S бок=DD1*AB= (а√2):2)*4*a/2=a²√2
г) Сечение призмы, площадь которого надо найти, это треугольник АСК.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Верным является и обратное утверждение.
Высота КН - средняя линия прямоугольного треугольника BDD1. Она параллельна диагонали призмы, а само сечение проходит через диагональ АС основания.
S Δ(АСК)=КН*СА:2
SΔ (АСК)=(0,5а*а√2):2):2=(а²√2):8
На стороне ВС параллелограмма ABCD отмечена такая точка М, что ВМ : МС = 1 : 3. Чему равна площадь треугольника АВМ, если площадь параллелограмма равна S?
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Точка М ∈ ВС.
ВМ : МС = 1 : 3.
S(ABCD) - S.
Найти:
S(ΔАВМ) = ?
Пусть ВМ = х, тогда МС = 3х, АВ = у. Площадь ΔАВМ обозначим как S₁.
Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон и синусу угла между ними.
Следовательно -
S(ABCD) = ВС*АВ*sin (∠В)
ВС = ВМ+МС = х+3х = 4х.
То есть -
S = 4ху*sin (∠В)
Рассмотрим ΔАВМ.
Площадь треугольника равна половине произведения смежных сторон и синуса угла меду ними.
То есть -
S(ΔАВМ) = 0,5*ВМ*АВ*sin (∠В)
S₁ = 0,5*хy*sin (∠В).
Из первого уравнения системы следует, что -
Подставим это значения во второе уравнение системы -
S(ΔАВМ) = S(ABCD)/8
S(ΔАВМ) = S/8.
ответ: S/8.
